Пример выполнения задания

Решите уравнение на отрезке [0, π]. Известно, что y(0) = 1.

Решение представлено на рис. 5.4

Рисунок 5.4 – Решение уравнения

Примечание: для решения ОДУ первого порядка так же можно использовать функцию rkadapt(), аналогичную рассмотренной выше rkfixed(), за исключением того, что решение находится не с фиксированным шагом, а с автоматическим его подбором.

3.3. Решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) методом Эйлера.

Пример выполнения задания

Решите дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y₀ , где f(x,y)=(3x – y)/(x²+y), a=2, b=3, h=0,1, y₀=1.

Решение представлено на рис. 5.5

Рисунок 5.5 – Решение ОДУ методом Эйлера в среде MathCad

3.4. Решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Пример выполнения задания

Решите дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта 4-го порядка на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a) = y_0, где f(x,y)=(3x – y)/(x²+y), a=2, b=3, h=0,1, y₀=1.

Решение представлено на рис. 5.6

Рисунок 5.6 – Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка

4. Вычислите погрешности методов решения дифференциальных уравнений.

5. На основании результатов задания 2, 3, 4 провести сравнительный анализ методов численного решения дифференциальных уравнений.

Таблица 5.1 – Варианты заданий

Вариант	Уравнение	Начальные данные	Отрезок интегрирования

Контрольные вопросы

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. Почему для решения дифференциального уравнения необходимо иметь начальные условия?

3. Зачем дифференциальное уравнение преобразуют к виду y'=f(x,y)?

4. Почему метод Рунге-Кутта 4-го порядка точнее метода Эйлера?

5. За счет чего возникает погрешность в методе Эйлера? Как ее уменьшить?

6. Как выбирается шаг интегрирования в методе Рунге-Кутта 4-го порядка точности?

Список источников Основной

1. Алексеев, В. Е. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию / В. Е. Алексеев, А. С. Ваулин, Г. Б. Петрова ; под ред. А. В. Петрова. — М. : Высш. шк., 1991.

2. Воробьева, Г. Н. Практикум по вычислительной математике : учеб. пособие для техн. / Г. Н. Воробьева, А. Н. Данилова. — М. : Высш. шк., 1990.

3. Волков, Е. А. Численные методы : учеб. пособие для вузов. — М : Наука, 1987.

4. Вычислительная техника и программирование : учеб. для техн. вузов / А. В. Петров [и др.] ; под ред. А. В. Петрова. — М. : Высш. шк., 1990.

5. Гусак, А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения : справочное пособие / 2-е изд. — Мн. : ТетраСистем, 2001.

6. Дьяконов, В. MathCad 2001 : специальный справочник. — СПб. : Питер, 2002.

7. Кренкель, Т. Э. Персональные ЭВМ в инженерной практике : справочник / Т. Э. Кренкель, А. Г. Кочан, А. М. Тараторин. — М. : Радио и связь, 1989.

8. Методические указания к выполнению курсовой работы «Вычислительная техника, программирование и математическое моделирование» для студентов-заочников машиностроительных специальностей. БГПА, Мн. — 1994.

9. Бородич, Л. И. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л. И. Бородич, А. И. Герасимович. — М : Высш. шк., 1986.

10. Макаров, Е. Инженерные расчеты в Mathcad 14. –СПб.:Питер, 2007.-592с.: ил.