2. Система дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система уравнений, связывающих независимую переменную t, неизвестные функции x₁(t), …,x_n(t) этой

(6)

где F_i – функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их определения.

Наибольшее из чисел m₁,…,m_n, называется порядком системы (6). При m₁=…=m_n= 1 система (6) называется системой первого порядка

(7)

Если l = n и уравнения можно разрешить относительно производных, то (7) можно переписать в виде

(8)

где , i = 1,…, n, - известные функции.

Система (8) называется нормальной системой или системой, записанной в нормальной форме Коши.

Порядком нормальной системы (8) называется число входящих в нее уравнений.

Система называется линейной , если функция i = 1,…, n линейно зависят от неизвестной функции :

(9)

где a_ij(t), f_i(t), i,j = 1,…, n –заданные функции переменной t.

Если все функции a_ij(t), i,j = 1,…, n не зависят от е, то есть a_ij(t) = a_ij = const, то система

(10)

называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Система (10) называется однородной системой.

Решение системы представляет собой совокупность n функций , непрерывных на некотором интервале (a, b), такая, что подстановка этих функций в (8) обращает каждое уравнение в тождество.

Задача Коши для системы (8) состоит в нахождении решения системы (8), удовлетворяющего начальным условиям:

(11)

Геометрический смысл данной задачи состоит в том, что ищется та интегральная кривая, которая проходит через точку (t₀, x₁₀, x₂₀, …, x_n0) пространства Rⁿ⁺¹.

3. Обзор численных методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем являются самым важным приложением теории дифференциальных уравнений. Большинство практических моделей динамических систем исследуются именно с помощью численных методов, поскольку модели реальных явлений, как правило, описываются достаточно сложными для аналитического исследования выражениями.

Процесс получения приближенного решения в огромной степени ориентирован на квалифицированное использование современной вычислительной техники. Совокупность численных методов представляет мощный и эффективный аппарат решения многих инженерных задач.

Существующие численные методы можно представить в виде следующей схемы:

Явные методы

Явный метод Эйлера

Метод Эйлера-Коши

Модифицированный метод Эйлера

Метод предсказания и коррекции

Явные методы

Рунге-Кутты

Метод Рунге-Кутты-Мерсона

Метод Адамса-Башфорта

Методы Фельберга

Методы Ингленда

Явные методы Мильна

Методы Нюстрема

Явные методы Хемминга

Экстраполяционные методы

8