6. Метод Рунге – Кутта – Мерсона

Отличие этого метода от классического метода Рунге-Кутты четвертого порядка состоит в том, что шаг интегрирования вычисляется автоматически в зависимости от текущей точности.

Алгоритм приближенного решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта – Мерсона заключается в следующем:

1. Задается погрешность  и начальный шаг интегрирования h.

2. Для расчета точки используется формула

(24)

где

Вычисляется погрешность:

.

Проверяются условия: .

Если оба условия выполняются, то расчет продолжается с тем же шагом. Если не выполняется первое условие, то текущий шаг делится пополам и процесс повторяется с п.2. Если не выполняется второе условие, то текущий шаг увеличивается вдвое и процесс повторяется с п.2.

Метод имеет четвертый порядок точности относительно шага h.

7. Метод Адамса – Башфорта

В многошаговом методе Адамса – Башфорта третьего порядка точности для нахождения точки используется три предыдущие точки:

(25)

Для начала расчетов требуются три «разгонные» точки X₀, X₁, X₂, которые можно получить любым из предыдущих методов.

В многошаговом методе Адамса – Башфорта четвертого порядка точности для нахождения точки используется четыре предыдущие точки, а для начала расчетов требуется четыре «разгонные» точки.

Методы Адамса - Башфорта не позволяют изменять шаг в процессе расчетов. В отличии от метода Рунге-Кутты четвертого порядка в этих методах требуется вычислить только одно новое значение правой части системы (12) вместо четырех. Высокая точность методов достигается при этом за счет учета информации о предыдущих точках. В методе Рунге – Кутты, как и в других одношаговых методах, недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результате вычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках.

8. Методы Фельберга

В методе Фельберга пятого порядка точности для расчета точки используется формула

где

(26)

В методе Фельберга четвертого порядка точности для расчета точки используется формула

где коэффициенты k₁, k₂, k₃, k₄, k₅ определяются согласно (26).

9. Методы Ингленда

В методе Ингленда пятого порядка точности для расчета точки используется формула

где

,

(27)

В методе Ингленда четвертого порядка точности для расчета точки используется формула

где коэффициенты k₁, k₃, k₄ определяются согласно (27).

10. Методы Нюстрема

В многошаговых методах Нюстрема второго, третьего и четвертого порядка точности для нахождения точки используются две, три и четыре предыдущие точки соответственно:

Для начала расчетов по выше указанным формулам требуются две, три и четыре «разгонные» точки соответственно. В практических задачах часто возникает необходимость решения дифференциального уравнения второго порядка. Для решения таких уравнений существует метод Нюстрема пятого порядка точности. Другие специальные методы решения уравнений второго порядка изложены в [3].