§ 1.7 Свойства определителей

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, то есть .

Из определения определителя

и свойства транспонированной матрицы а_ij= a^t_ji, получаем

= detA

Замечание. Данное свойство означает равноправие строк и столбцов определителя. Все дальнейшие свойства формулируются только для столбцов, подразумевая при этом, что они справедливы и для строк.

Свойство 2. Если один из столбцов матрицы состоит целиком из нулей, то ее определитель равен нулю.

Так в каждое слагаемое определителя входит по одному представителю из каждой строки, то в каждом слагаемом содержится по одному нулевому сомножителю, т.е.все слагаемые равны нулю.

Свойство 3. При перестановке двух столбцов матрицы ее определитель меняет знак

Пусть исходная матрица А, а ее определитель detA. Если поменять местами два столбца i и j, то получим матрицу В с определителем detB. Причем, в каждом слагаемом сомножитель, входивший в определитель матрицы А из i-го столбца, в определитель матрицы В войдет под номером j-го столбца и обратно. Согласно свойству транспозиций, при перемене двух индексов местами, каждая четная перестановка в detA станет нечетной в detB, а нечетная – четной, т.е. все слагаемые detA будут отличаться от слагаемых detB только знаками. Следовательно, detB = - detA.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковых строки, то он равен нулю.

Пусть дана матрица А с определителем detA. Поменяв в матрице А две строки местами, получим аналогичную матрицу А, но ее определитель (по св.3)поменяет знак, т.е. detA = -detA или, что то же самое, 2detA = 0, тогда detA = 0.

Свойство 5. Перед формулировкой данного свойства необходимо ввести ряд новых определений и доказать несколько результатов.

Определение 1. Пусть задана матрица А. Вычеркнем из нее i-ю строку и k-ый столбец и не меняя порядка сомкнем строки и столбцы. Определитель вновь построенной матрицы А называют минором элемента a_ij матрицы А и обозначают _ij.

Пример. Найти минор ₂₃ элемента а₂₃ матрицы А

Из матрицы А= вычеркиваем 2-ю строку и 3-ий столбец.

Получаем матрицу ₂₃=, ее определитель det ₂₃= 3, то есть минор элемента a₂₃ матрицы А равен 3.

Лемма. Пусть дана матрица А с первой строкой, содержащей один ненулевой элемент, т.е. матрица вида

А=,то определитель такой матрицы равен detA=a₁₁ ₁₁

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы А

(1)

Так как все элементы 1-ой строки, кроме первого, равны нулю, то формула (1) трансформируется в формулу

= а₁₁ ₁₁

где _{11 –} определитель матрицы, полученной из матрицы А удалением первой строки и первого столбца ( или минор элемента а₁₁).

Теорема Пусть дана матрица с i-ой строкой, содержащей в k-ом столбце отличный от нуля элемент

А = ,

то определитель матрицы А равен detA =(-1)^i+k a_ik _ik

Доказательство. Меняя i-ю строку с 1-ой строкой, мы совершим (i-1) перестановку строк, т.е. по свойству 3 произойдет (i-1) перемена знака. Поменяв k-ый столбец с 1-ым, мы совершим еще (k – 1) перемену знака и в результате придем к матрице, рассмотренной в лемме. Используя ее результаты, получаем detA =(-1)^i+k a_ik _ik

Определение 2. Выражение А_ij =(-1)^i+k _ik называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А.

Иначе: алгебраическим дополнением - это минор со знаком.

Заметим, что алгебраическое дополнение не зависит как от элементов i-ой строки, так и элементов j-ого столбца, так как определяющий его минор содержит элементы, не входящие в эти стоки и столбцы.

Теперь можно сформулировать само свойство 5. Заметим, что в математической литературе это свойство часто фигурирует, как определение определителя.

Свойство 5. Определитель матрицы А равен произведению элементов произвольной строки (столбца) на свои алгебраические дополнения

(2)

Формула (2) называется разложением определителя по i-ой строке.

Результат иллюстрируется на примере определителя 3-го порядка.

а₂₁А₂₁+а₂₂А₂₂+а₂₃А₂₃

Используя свойство 5, легко доказываются утверждения (доказать):

1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

3. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. А В =  А  В 

Пример .

Свойство 6. Сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения другого столбца равна нулю (принимаем без доказательства). Проверить на числовом примере

Свойство 7. Если элементы некоторой строки матрицы А умножить на любое число, то определитель полученной матрицы В будет отличаться от определителя исходной матрицы А на это число.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив i-ю строку матрицы А на число r, получим новую матрицу В с определителем, определяемым свойством 5 :

=

Следствия:

1.Общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя.

2.Если в матрице существуют 2 пропорциональные строки, то ее определитель равен 0 (коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, тогда матрица полученного определителя будет содержать две равные строки)

Свойство 8. Если в матрице каждый элемент k-ого столбца может быть представлен в виде сумма двух слагаемых a_ik = b_ik + c_ik, то определитель такой матрицы А представим в виде суммы двух определителей, в первом из которых на месте элементов k-го столбца стоят элементы b_ik, а во втором определителе на месте элементов k-го столбца стоят c_ik (остальные элементы матрицы не меняются).

Доказательство. Воспользуемся свойством 5.

= detB + detC

Пример. 0 + 0 = 0

Свойство 9 Если к строке определителя прибавить любую другую его строку, умноженную на некоторое число k, то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив j-ю строку матрицы А на число r и прибавит эту строку к элементам i-ой строки получим новую матрицу А₁ с определителем:

== 0 + detA

Первый определитель равен нулю, т.к. в нем находятся две пропорциональные строки.

Пример. Вычислить определитель матрицы D четвертого порядка:

Умножим последовательно первую строку на (-2),(-5) и (-6) и прибавим ее соответственно ко второй, третьей и четвертой строке. По свойству 9 значение полученного определителя не изменится.

Теперь последовательно умножим 2-ю строку на 13 и 4 и прибавим ее к 3-ей и 4-ой строке. Получим определитель:

Свойство 10 Если один из столбцов матрицы А есть линейная комбинация других столбцов этой матрицы, то определитель такой матрицы равен нулю.

Доказательство. Пусть таким столбцом в матрице А является k- ый. Тогда, обозначив столбцы как А₁,А₂,…,А_k,…,А_n запишем линейную комбинацию для столбца k:

А_k = ₁A₁+ ₂A₂+ … + _k-1A_k-1+ _k+1A_k+1+…+_nA_n

Если вместо элементов k-го столбца в исходной матрице А записать данную комбинацию, то используя свойство 7 определитель матрицы А можно представить в виде (k – 1) определителя, в каждом из которых будут два пропорциональных столбца. Тогда, каждый из таких определителей равен нулю ( следствие 2 из свойства 7).

Свойство 11. Перед его формулировкой введем определение.

Определение. Матрица вида , где А, В, С квадратные матрицы, называется ступенчатой матрицей.

Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Пример. = = 1 – 1 = 0.