- •Белорусский государственный университет
- •Лабораторная работа №9
- •Теория упругого удара.
- •Закон сохранения кинетической энергии:
- •Определение скорости шара v1, и силы натяжения Tнити в момент удара.
- •Теоретическая оценка времени соударения шаров
- •Допустим, что область проникновения деформации мала, позволяет заметить сильно деформируемую область шара (рис.7)
- •Обозначим величено максимальной деформации шара через х максимальную силу упругости f шара можно определить из закона упругости деформации:
- •Отсюда сила упругости:
- •Подставляя это выражение в формулу (18), получим:
- •Результаты Экспериментов
- •Теоретическая зависимость времени взаимодействия от угла
- •Теоретическая зависимость времени взаимодействия от радиуса
- •П рактическая зависимость времени взаимодействия от угла
Допустим, что область проникновения деформации мала, позволяет заметить сильно деформируемую область шара (рис.7)
Цилиндром радиуса r (радиус площади соприкосновения в момент максимальной деформации) и высоты hr (глубина проникновения деформации). В процессе деформации возникает сила, подобная силе упругости пружины, стремится вернуть шар в недеформированное состояние.
r
r R
X
Рис.4
Обозначим величено максимальной деформации шара через х максимальную силу упругости f шара можно определить из закона упругости деформации:
|
(15) |
т.к. – жесткость шара (определяется материалом и геометрическими размерами шара) Е – модуль Юнга, L ̴r, S=r2 площадь пятна контакта шаров в момент максимальной деформации (рис.5). Из рисунка видно, что BD=X, BO=OG=R, AD=r
A
B D G
O
Рис.5
Предположим, что шар прогнулся только на участке АВG. Так как ΔABD подобен ΔADG, можно записать:
|
(16) |
Поскольку величена х<<R, то из (16)
Отсюда сила упругости:
|
(17) |
В момент остоновки шара вся кинетическая энергия Екин, переходит в потенциальную энергию упругой деформации Епот, т.е.
|
(18) |
Масса шара может быть вычислена по формуле (– плотность вещества шара). Отсюда:
|
(19) |
Подставляя это выражение в формулу (18), получим:
|
(20) |
Найдем из этого выражения максимальную деформацию шара:
|
(21) |
Где - скорость звука в веществе шара.
С другой стороны:
|
(22) |
Время соударения Δt можно оценить из уравнения движения.
Второй закон Ньютона в Импульсной форме:
|
(23) |
Или в проекции на ось Х:
|
(24) |
Где – изменение импульса шара за время соударения Δt (конечный импульс шара в момент максимальной деформации равен нулю). Отсюда:
|
(25) |
Как Видно из (25), время соударения шаров прямо пропорционально радиусу R шаров и обратно пропорционально корню пятой степени из скорости шаров V в момент соударения. Подставив из (10) значение скорости шара в момент удара V, получим формулу для вычисления времени соударения как функцию – угла отклонения нити подвеса от вертикали:
|
(26) |
U=2030 м/с
Из формулы (28) видно, что для шаров одинакового радиуса, время соударения Δt буден увеличиваться с уменьшением угла отклонение нити подвеса . А для шаров разного радиуса, отклоненных на одинаковый угол, время соударения Δt будет увеличиваться с увеличением их радиусов.
Практическая оценка времени соударения шаров
Метод основан на измерении потенциалов на обкладках конденсатора известной емкости при его разряде через резистор заданного сопротивления. Пусть в момент времени t разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U, а заряд, соответственно , где С – емкость конденсатора. При разряде конденсатора за бесконечно малый промежуток времени dt его заряд уменьшился на величину:
Разрядный ток, по определению равен
Поскольку падение напряжения на разрядном резисторе равно разности потенциалов на обкладках конденсатора, запишем:
|
(27) |
где знак "-" учитывает, что dU<0.
Из (1) следует:
|
(28) |
Интегрируя (2), получим:
|
(29) |
Постоянную интегрирования С1 определим из начальных условий. В момент времени t=t0=0 разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U0, поэтому:
, то есть следовательно:
|
(30) |
Таким образом, разность потенциалов на обкладках конденсатора убывает по экспоненциальному закону.
Точность измерения времени разряда будет тем выше, чем больше будет измерение разности потенциалов за один и тот же промежуток времени.
Предположим, что в начале разряда (t=0) разность потенциалов равна U0, а к моменту времени t, U. Средний за время разряда ток равен:
|
(31) |
с другой стороны, по закону Ома:
|
(32) |
решая совместно (31) и (32) , получим:
|
(33) |
При вычислении удобно пользоваться эквивалентным соотношением:
|
(34) |
Где n0 и n – номера деления шкалы прибора, соответствующие показанием вольтметра до и после соударения шаров.
Расчетное соотношение (34) получено в предположении, что разность потенциалов на обкладках конденсатора за время удара мало измеряется. Если же эти изменения относительно велики (больше 10%), для расчетов следует пользоваться по (30) соотношением:
|
(35) |
Если при разомкнутых шарах установить тумблер Т в левое положение конденсатор зарядится до напряжения U0 источника. Затем тумблер переводится в правое положение и осуществляется соударение шаров. За время удара происходит разряд конденсатора через резистор R. Разность потенциалов на обкладках конденсатора U после удара фиксируется вольтметром. Определив значение разности потенциалов до и после соударение, по (8) рассчитываем время соударения шаров.
Расчет погрешности проводился для серии экспериментов по формуле: