- •Анализ устойчивости систем автоматического регулирования
- •Цель работы
- •Основные теоретические положения
- •Критерий Гурвица
- •Критерий Рауса
- •Критерий Михайлова
- •Критерий Найквиста
- •Логарифмический критерий
- •Построение области устойчивости сар методом d-разбиения
- •Запасы устойчивости сар
- •Пример анализа устойчивости сар и построения области устойчивости
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Анализ устойчивости Систем автоматического регулирования
- •230201 "Информационные системы и технологии"
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Кузбасский государственный технический университет"
Кафедра информационных и автоматизированных
производственных систем
Анализ устойчивости систем автоматического регулирования
Методические указания к лабораторной работе по курсу
Основы теории управления для студентов специальности 230201 "Информационные системы и технологии"
Составитель Г. А. Алексеева
И. В. Чичерин
Утверждены на заседании кафедры
Протокол № 5 от 02.02.2011
Рекомендованы к печати
учебно-методической комиссией
специальности 230201
Протокол № 274 от 11.03.2011
Электронная копия находится
в библиотеке главного корпуса
ГУ КузГТУ
Кемерово 2011
-
Цель работы
Цель работы – изучение критериев устойчивости и приобретение практических навыков по их использованию при анализе устойчивости линейных систем автоматического регулирования (САР), а также в построении областей устойчивости в плоскости одного параметра.
-
Основные теоретические положения
Критерии устойчивости – это правила исследования устойчивости САР без непосредственного решения дифференциального уравнения. Из критериев устойчивости в работе рассматриваются алгебраические критерии Гурвица и Рауса, частотные критерии Михайлова и Найквиста, а также логарифмический критерий.
-
Критерий Гурвица
САР устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характеристического уравнения
(2.1)
все n определителей Гурвица, составленные по определённой схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.
Матрица, по которой определяются все n определителей Гурвица, имеет вид
(2.2)
Итак, для устойчивости САР необходимо, чтобы:
; ; ; …;
; . (2.3)
-
Критерий Рауса
САР устойчива по критерию Рауса, если положительны коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (таблица 2.1), включая и , где элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по формуле:
, (2.4)
где i – порядковый номер строки в таблице Рауса, ;
k – порядковый номер столбца таблицы Рауса, k=1, 2, …;
– вспомогательные коэффициенты.
Вспомогательные коэффициенты определяются следующим образом
. (2.5)
Таблица 2.1 – Таблица Рауса
Номер строки |
Номер столбца |
||||
1 |
2 |
3 |
… |
||
– |
1 |
C11 = a0 |
C12 = a2 |
C13 = a4 |
… |
– |
2 |
C21 = a1 |
C22 = a3 |
C23 = a5 |
… |
3 |
C31 |
C32 |
C33 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
i |
Ci1 |
Ci2 |
Ci3 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
n + 1 |
Cn-1,1 |
… |
… |
… |
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то САР неустойчива.
-
Критерий Михайлова
Критерий Михайлова основан на рассмотрении характеристического уравнения САР, в котором вместо p используется jw. В этом случае имеем функцию комплексной переменной вида
, (2.6)
где
;
.
Система устойчива по критерию Михайлова, если при изменении частоты от 0 до +¥ годограф Михайлова повернётся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол np/2, при этом, нигде не обращаясь в нуль.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то САР находится на границе устойчивости.
а) б)
Рисунок 2.1 – Годографы Михайлова
САР неустойчива по критерию Михайлова, если годограф проходит n квадрантов непоследовательно или проходит меньшее число квадрантов. На рисунке 2.1а приведены годографы Михайлова для устойчивой САР (кривая 1), для САР на границе устойчивости (кривая 2), а на рисунке 2.1б для неустойчивой САР при n = 4.