Процессы заряда и разряда конденсатора.

Если заряженный конденсатор замкнуть проводником, то по проводу будет протекать ток, и конденсатор начнет разряжаться. Пусть – заряд конденсатора, – разность потенциалов между его пластинами, – электроёмкость, а – сопротивление проводника. Тогда для мгновенных значений заряда , силы тока и напряжения можно записать: , , . Мы полагаем, что ток, текущий в электрической цепи, является квазистационарным, т.е. во всех поперечных сечениях проводника, замыкающего конденсатор, его мгновенное значение одно и то же. Мгновенное значение напряжённости электрического поля между обкладками конденсатора такое же, как и при тех же, но неизменных зарядах на обкладках конденсатора. Исключая силу тока и напряжение из уравнений, получаем:

(1)

В уравнении (1) скорость уменьшения заряда пропорциональна величине этого заряда . Естественно ожидать, что по мере уменьшения заряда скорость будет падать. Функция (2), являющаяся решением уравнения (1), называется экспоненциальной (рис. 1, кривая 1):

Рис. 1.

(2)

Решение (2) получено при условии, что в начальный момент времени заряд конденсатора равен . По экспоненциальному закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора:

, , , (2.а)

где – напряжение в начальный момент времени.

Величина имеет размерность времени. За время заряд конденсатора уменьшается в раз, где .

Релаксацией называется самопроизвольный процесс перехода в устойчивое равновесное состояние. В данной электрической цепи это процесс разряда конденсатора. Время называется временем релаксации. Для определения времени релаксации удобно измерять время _, за которое заряд уменьшается до половины первоначальной величины:

(3)

Здесь – “половинное” время.

Разделив (3) на и прологарифмировав полученное выражение, найдём

(4)

Формула (4) связывает время релаксации и половинное время . При разряде конденсатора по экспоненциальному закону изменяется и сила тока, текущего в проводнике:

(5)

Рассмотрим процесс заряда конденсатора от источника тока, имеющего постоянную . При соблюдении условий, при которых наблюдается квазистационарность, можно записать:

.

Здесь – увеличение заряда конденсатора за время ; – полное сопротивление электрической цепи, включая внутреннее сопротивление источника тока. Исключая из уравнений и , придем к уравнению

, (6)

которое можно свести к (1), если использовать новую перемен­ную :

(6.а)

Решением уравнения (6.а) является экспоненциальная функ­ция

В начальный момент времени конденсатор еще не заряжен, т. е. . Это позволяет найти постоянную ; следовательно,

(7)

При , а заряд конденсатора стремится к максимальному значению равному: (рис. 1, кривая 2). Напряжение на обкладках конденсатора увеличивается от нуля до максимального значения, равного :

(7.а)

Зависимость силы тока заряда от времени, так же как и в случае разряда,— убывающая функция времени:

(8)