- •Глава 1. Математическая модель,
- •§ 1. Числовые и алгебраические выражения
- •§ 2. Что такое математический язык
- •§ 3. Что такое математическая модель
- •Глава 2. Степень с натуральным
- •§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
- •§ 5. Таблица основных степеней
- •§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями
- •§ 7. Умножение и деление степеней
- •§ 8. Степень с нулевым показателем
- •Глава 3. Одночлены. Операции над одночленами
- •§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
- •§ 10. Сложение и вычитание одночленов
- •§ 11. Умножение одночленов.
- •§ 12. Деление одночлена на одночлен
- •Глава 4. Многочлены.
- •§ 13. Основные понятия
- •§ 14. Сложение и вычитание многочленов
- •§ 15. Умножение многочлена на одночлен
- •§ 16. Умножение многочлена на многочлен
- •§ 17. Формулы сокращенного умножения
- •§ 18. Деление многочлена на одночлен
- •Глава 5. Разложение многочленов на множители
- •§ 19. Что такое разложение многочленов
- •§ 20. Вынесение общего множителя за скобки
- •§ 21. Способ групировки
- •§ 22. Разложение многочлена на множители
- •§ 23. Разложение многочлена на множители
- •§ 24. Сокращение алгебраических дробей
- •§ 25. Тождества
- •Глава 6. Линейная функция
- •§ 26. Координатная прямая
- •§ 27. Координатная плоскость
- •§ 28. Линейное уравнение
- •§ 29. Линейная функция и ее график
- •§ 30. Прямая пропорциональность и ее график
- •§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций
- •§ 33. Графическое решение уравнений
- •Глава 8. Системы двух линейных
- •§ 35. Основные понятия
- •§ 36. Метод подстановки
- •§ 37. Метод алгебраического сложения
- •§ 38. Системы двух линейных уравнений
§ 25. Тождества
№ 707
а) да; б) да; в) да; г) да.
№ 708
а) да; б) да; в) да; г) да.
№ 709
а) да; б) да; в) да; г) да. 122
№ 710
а) переместительный закон сложения;
б) сочетательный закон сложения;
в) переместительный закон умножения;
г) распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 711
а) переместительный и сочетательный законы умножения;
б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0;
в) переместительные законы сложения и умножения;
г) 1. сочетательный закон умножения,
2. распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 712
а) x – y = – y + x = – (y – x);
б) (m – n)
2
= m2
– 2mn + n2
= n2
– 2mn + m2
= (n – m)
2
;
в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a);
г) (3c – 4d)
2
= 9c
2
– 24cd + 16d2
= 16d2
– 24cd + 9c
2
= (4d – 3c)
2
.
№ 713
а) 10a–(–(5a+20))=10a–(–5(a+4)) = 10a + 5(a + 4)=5(2a+a+4) = 5(3a + 4);
б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3);
в) 12y–(25–(6y–11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y–36 + 6y=18y–36=18(y–2);
г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = 21 + 9c = 3(3c + 7).
№ 714
а) a2
+7a+10=a2
+5a+2a+10=a(a+5)+2(a+5) = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5);
б) x
2
– 9x + 20 = x
2
– 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5);
в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2
+ 3b – 8b + 24 = b2
– 5b + 24;
г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c
2
+ 7c – 4c – 28 = c
2
+ 3c – 28.
№ 715
а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2
– 4a + 2a – 8 + 4 = a2
– 2a – 4 = a2
– 2a – 3 – 1=
= a2
+ a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = (a – 3)(a + 1) – 1;
б) 16–(x+3)(x+2) = 4 + 12 – x
2
– 5x – 6 = 4 – x
2
– 5x + 6 = 4 – (x
2
+ 5x – 6) =
= 4–(x
2
–x+6x–6)=4–(x(x–1)+6(x–1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1);
в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y
2
– 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = (y
2
+ 4y – 32) – 2 =
= (y
2
+ 8y – 4y – 32) – 2 = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2;
г) (z–11)(z+10)+10=z
2
–z – 110 + 10 = (z
2
– z – 20) – 80 = z
2
–5z+4z–20–80 =
= z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = (z – 5)(z + 4) – 80.
№ 716
а) (a + b)
2
+ (a – b)
2
= a2
+ 2ab + b2
+ a2
– 2ab + b2
= 2(a2
+ b2
);
б) (a + b)
2
– (a – b)
2
= a2
+ 2ab + b2
– a2
+ 2ab – b2
= 4ab;
в) a2
+ b2
= a2
+ b2
+ 2ab – 2ab = (a + b)
2
– 2ab;
г) (a + b)
2
– 2b(a + b) = a2
+ 2ab + b2
– 2ba – 2b2
= a2
– b2
. 123
№ 717
2x–1+3x+1–5x=5x–5x=5x–3x–2x=5x – 3x – 1 – 2x + 1=5x–(3x+1) – (2x – 1).
№ 718
а)
422 2
22
4(2)(2)
2(2)
x xxxxx
xx xx
−−+
=
−−
= x
2
+ 2x, видно, что равенство превращается
в тождество при x
2
– 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;
б)
523
54 2
324 24
612 2
xxxx
xx x
−++
=
−
;
5223 2 2 3
544 4 2
3 24 3 ( 8) ( 2)( 2 4) 2 4
612 6(2) 2(2) 2
x x xx xx x x x x
xxxx xx x
−−−++++
== =
−− −
,
видно, что равенство превращается в тождество при
6x
5
– 12x
4
не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;
в)
32 2 2
42 22 2
212182( 690 (3)
436 4(9)2(3)(3)
aaaaaa a
aa aa aaa
−+ −+ −
== =
−−−+ 2
33
2( 3) 26
aa
aa aa
−−
=
+ +
;
Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4
– 36a2
не
равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3.
При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование
левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3).
г)
62 32 3 2
33 23
27 3 9
2 26
ab ab a a a
b ab ab
−++
=
−
;
62 32 32 3 2
33 23 23
27 ( 27) ( 3 9)
2 26 2(3)
ab ab ab a aa a
b ab ab ab a
−−++
==
−−
,
Видно, что равенство равенство превращается в тождество при
2a3
b3
– 6a2
b3
не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3.
№ 719
а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = x
2
– y
2
+ y
2
– a2
= x
2
– a2
;
б) (a–b)(a+b)–(a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = a2
– b2
– a2
+ c
2
– c
2
+ b2
= 0;
в) (x + a)(x + b) = x
2
+ ax + bx + ab = x
2
+ (a + b)x + ab;
г) (m – a)(m – b) = m2
– am – bm + ab = m2
–x (a + b)m + ab.
№ 720
а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18;
(a+1)(b+1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = 2(a + b) = 18.
№ 721
(b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) =
= (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) +
+ 2c(a – b) = c
2
– b2
– 2ac + 2ab + a2
– c
2
– 2ab + 2bc – a2
+
+ b2
+ 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0. 124
№ 722
а) (2a–b)(2a+b)+(b–c)(b+c)+(c–2a)(c+2a)=4a2
– b2
+ b2
– c
2
+ c
2
– 4a2
= 0;
б) (3x + y)
2
– (3x – y)
2
= (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = 2y · 6x = 12xy =
= 9x
2
y
2
+ 6xy + 1 – 9x
2
y
2
+ 6xy – 1 = (3xy + 1)
2
– (3xy – 1)
2
;
в) (x–3y)(x+3y)+(3y–c)(3y+c)+(c–x)(c + x) = x
2
– 9y
2
+ 9y
2
– c
2
+ c
2
– x
2
= 0;
г) (a – b)(a + b)((a – b)
2
+ (a + b)
2
) = (a2
– b2
)(2a2
+ 2b2
) = 2(a4
– b4
).
№ 723
а) (a–1)
3
–4(a–1)=(a–1)((a–1)
2
–4)=(a – 1)(a – 1 – 2) = (a – 1)(a – 3)(a + 1);
б) (x
2
+ 1)
2
– 4x
2
= (x
2
– 2x + 1)(x
2
+ 2x + 1) = (x – 1)
2
(x + 1)
2
;
в) (a + 1)
2
– (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1);
г) 4b2
c
2
– (b2
+ c
2
– a2
)
2
= (2bc – b2
– c
2
+ a2
)(2bc + b2
+ c
2
– a2
) =
= (a2
– (b – c)
2
)((b + c)
2
– a2
)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).