Двоичная арифметика
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами определяются арифметическими действиями над одноразрядными двоичными числами.
перенос в
старший разряд
Правила выполнения арифметических действий во всех позиционных системах счисления аналогичны.
Сложение
Как и в десятичной системе счисления, сложение двоичных чисел начинается с правых (младших) разрядов. Если результат сложения цифр МЗР обоих слагаемых не помещается в этом же разряде результата, то происходит перенос. Цифра, переносимая в соседний разряд слева, добавляется к его содержимому. Такая операция выполняется над всеми разрядами слагаемых от МЗР до СЗР.
Пример.
Сложить два числа в десятичном и двоичном представлении (формат – 1 байт).
Перенос (единицы) 11 1111111
Слагаемое 1 099(10) 01100011(2)
Слагаемое 2 095(10) 01011111(2)
Сумма 194(10) 11000010(2)
Операция получается громоздкая со многими переносами, но удобная для ЭВМ.
Вычитание
Операция вычитания двоичных чисел аналогична операции в десятичной системе счисления. Операция вычитания начинается, как и сложение, с МЗР. Если содержимое разряда уменьшаемого меньше содержимого одноименного разряда вычитаемого, то происходит заем 1 из соседнего старшего разряда. Операция повторяется над всеми разрядами операндов от МЗР до СЗР.
Поясним это примером.
Пример.
Вычесть два числа в десятичном и двоичном представлении (формат – 1 байт).
Заем (единица) 1 01100000
Уменьшаемое 109(10) 01101101(2)
Вычитаемое 049(10) 00110001(2)
Разность 060(10) 00111100(2)
Второй вариант операции вычитания – когда уменьшаемое меньше вычитаемого – приведен в разделе представления двоичных чисел в дополнительном коде.
Прямой, обратный и дополнительный коды
В целях упрощения выполнения арифметических операций и определения знака результата применяют специальные коды для представления чисел. Операция вычитания (или алгебраического сложения) чисел сводится к арифметическому сложению кодов, облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства, выполняющие арифметические операции.
Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.
Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, другой – отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто.
Наиболее распространенным и удобным является формирование кодов таким образом, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел, т.е. использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде как о знаковом (бит знака) и об остальных как о цифровых разрядах кода.
Прямой код
Это обычный двоичный код, рассмотренный в разделе двоичной системы счисления. Если двоичное число является положительным, то бит знака равен 0, если двоичное число отрицательное, то бит знака равен 1. Цифровые разряды прямого кода содержат модуль представляемого числа, что обеспечивает наглядность представления чисел в прямом коде (ПК).
Рассмотрим однобайтовое представление двоичного числа. Пусть это будет 28(10). В двоичном формате – 0011100(2) (при однобайтовом формате под величину числа отведено 7 разрядов). Двоичное число со знаком будет выглядеть так, как показано на рис. 2.1.
Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки, достаточно просто: числа складываются, и сумме присваивается знак слагаемых. Значительно более сложным является алгебраическое сложение в прямом коде чисел с разными знаками. В этом случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание модулей и присваивать разности знак большего по модулю числа. Такую операцию значительно проще выполнять, используя обратный и дополнительный коды.