2.1.4 Статистические оценки неизвестных параметров

2.1.4.1 Точечные оценки

Одной из основных задач математической статистики, как уже отмечалось, является нахождение приближенного значения некоторого неизвестного параметра а случайной величины Х по выборке ее значений x_1, х₂, x_{3, …} x_n , полученной в результате п измерений (наблюдений, опытов). Таким параметром может, например, являться математическое ожидание случайной величины или ее дисперсия. Приближенное значение параметра а, вычисленное каким-либо способом по значениям выборки x_1, х₂, x_{3, …} x_n , в статистике называют точечной оценкой этого параметра и обозначают . Значения выборки являются случайными величинами, оценка — также случайная величина, представляющая собой числовую функцию от результатов п измерений. Чтобы эта оценка представляла интерес для практики, она должна удовлетворять определенным требованиям, которые обеспечивают ее близость к оцениваемому параметру. Такими требованиями являются несмещенность и состоятельность.

Точечная оценка параметра а называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно а, т. е. если

М()=а

В противном случае, т. е. если М()а, оценка называется смещенной. Использование несмещенных оценок позволяет избежать систематических ошибок при замене неизвестного параметра а его оценкой . При большом количестве измерений требуется также, чтобы с вероятностью, близкой к единице, оценка мало отличалась от параметра а.

Пусть имеется некоторая выборка объема n: x_1, х₂, x_{3, …} x_n . Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выброчная средняя - среднее арифметическое значений выборки:

(5)

Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (5) естественно записать в следующем виде:

(6)

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней.

(7)

Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу

136

(7) можно записать так:

(8)

Формулы (7) и (8) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:

(9)

т. е. выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений выборки без квадрата выборочной средней.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

(10)

где S₀ — выборочная дисперсия, п — объем выборки. Отсюда, используя формулу (7),

(11)

Пример 3. Для выборки 4,5,3,2, 1,2,0,7,7,3 найти выборочную среднюю , выборочную дисперсию S₀, исправленную выборочную дисперсию S.

Решение: объем выборки п = 10. По формуле (5) находим выборочную среднюю:

Чтобы найти выборочную дисперсию, воспользуемся формулой (9). Для этого вычислим среднее квадратов значений выборки: 4.

Теперь по формуле (9) находим S₀ = 16,6 -3,4²= 5,04.

Наконец, используя формулу (10), вычисляем исправленную выборочную дисперсию:

S=

Пример 4. Для выборки 3,8-1,3,0,5,3,4,3,5 найти выборочную среднюю , выборочную дисперсию S₀, исправленную выборочную дисперсию S.

Решение: для данной выборки в примере 1 был получен статистический ряд

-1	0	3	5	8
2	1	4	2	1

Объем выборки п=10. Выборочную среднюю найдем по формуле (6):

Вычислим среднее квадратов значений выборки:

Согласно формуле (9) находим выборочную дисперсию:

S₀ = 15,2-2,82= 7,36.

137

Для вычисления исправленной выборочной дисперсии воспользуемся формулой (10):

S= = 8,18