Задачи.
3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке №1, 10 изготовлено на станке №2, остальные – на станке №3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке №1 равна 0,96, на станке №2 – 0,98. Вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,8.
а) Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке №3.
б) Какова вероятность того, что извлеченная при случайном отборе стандартная деталь изготовлена на станке №2?
3.2. На сборку поступили детали с 4 автоматов. Второй дает 40%, а третий 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с четвертого автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?
3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 – с вероятностью 0,5; и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по одной детали, среди которых было обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит третьей партии.
3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?
3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что:
а) число бракованных изделий равно 6;
б) взятое бракованное изделие единственно.
3.7. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 12, а во втором – 15 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй ящик одна деталь.
а) Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной;
б) Какова вероятность того, что из первого ящика во второй переложили стандартную деталь, если наудачу извлеченная из второго ящика деталь оказалась стандартной?
3.8. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, остальные – вторым. Известно, что 3% ламп первого и 5% ламп второго завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампа - стандартная?
3.9. Имеется 5 урн: в первой и второй – по 2 белых и 3 чёрных шара, в третьей и четвёртой – по 1 белому и 4 чёрных шара, в пятой урне – 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны извлекли шар. Он оказался белым. С какой вероятностью он был извлечён из пятой урны?
3.10. В соответствии со статистикой некоторого банка 15% кредитов предоставляется другим банкам, 20% - государственным организациям, остальные – прочим клиентам. Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок составляет для них 0,03, 0,02 и 0,1 соответственно.
а) Определить общую долю невозвратов.
б) Какова вероятность того, что полученное банком уведомление о неисполнении обязательств по возврату кредита прислано государственной организвцией?
3.11. Имеется два ящика изделий, причем в первом ящике все изделия доброкачественны, а во втором только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?
3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество деталей с четырех предприятий, взяли на проверку одну деталь. Продукция двух предприятий содержит по 3/4 доброкачественных деталей, а продукция остальных предприятий по 7/8 доброкачественных деталей.
а) Какова вероятность обнаружения бракованной продукции?
б) Какова вероятность того, что обнаруженное бракованное изделие изготовлено на предприятии, продукция которого содержит 3/4 доброкачественных деталей?
3.13. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекаются и перекладываются во второй ящик две детали. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной.
3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло 10 мужчин и 40 женщин.
а) Какова вероятность того, что наудачу обследованный человек оказался дальтоником.
б) Какова вероятность того, что это мужчина?
3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8;
7 – с вероятностью 0,7;
4 – с вероятностью 0,6;
2 – с вероятностью 0,5.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05.
а) Какова вероятность того, что изделие пройдет упрощенный контроль?
б) Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.
3.17. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. В общем 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор создан из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного качества – 0,7.
а) Какова вероятность безотказной работы прибора?
б) Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей, если он испытывался в течение времени t и работал безотказно.
3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9 и 0,9.
а) Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
б) какова вероятность того, что обнаруженный сбой произошел в оперативной памяти?
3.19. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, двое знают 20 билетов из 30; один успел повторить только 15 билетов; остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1.
3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Какое предположение о степени его подготовленности наиболее вероятно и какова его вероятность?
3.21. В продажу поступают телевизоры с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. В магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего.
а) Какова вероятность приобрести исправный телевизор?
б) Какова вероятность того, что приобретенный исправный телевизор изготовлен на втором заводе?
3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить либо кровь той же группы, либо кровь 1-й группы; человеку с 1-й группой крови можно перелить кровь только 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют 1-ю группу крови, 37,5% - 2-ю группу, 20,9% - 3-ю группу и 7,9% - 4-ю группу. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
3.23. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча, которые после игры возвращают обратно в ящик. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров, а 30% - для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, на экспорт отправляется 40%. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белых телевизоров, будет отправлен на экспорт.
3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий:
10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных и 2 нестандартных;
5 партий по 8 изделий, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных;
5 партий по 8 изделий, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных;
5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных и 1 нестандартная.
Из наудачу выбранной партии извлекается одно изделие.
а) Какова вероятность того, что оно нестандартная?
б) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие, оказавшееся нестандартным, принадлежит последней партии.
3.26. Три машинистки перепечатывают рукопись. Первая напечатала 1/3 все рукописи, вторая – 1/4 всей рукописи, а третья напечатала остальное. Вероятность того, что первая машинистка сделает ошибку равна 0,15; вторая – 0,1; третья – 0,1.
а) Какова вероятность того, что при проверке будет обнаружена ошибка.
б) Найти вероятность того, что обнаруженная ошибка допущена первой машинисткой.
3.27. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта при приеме равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02.Найти вероятность того, что:
а) деталь будет принята системой контроля;
б) принятая деталь окажется с дефектом;
в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.
3.28. Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось.
3.29. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?
3.30. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар, и после тщательного перемешивания один шар извлекается. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов равны 0,05, 0,03 и 0,02 соответственно. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?
3.32. Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, завода №2 – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.
3.33. Колода из 36 карт разбита на две кучки по 18 карт. В первой кучке оказалось 8 карт пиковой масти, а во второй – одна. Каждая кучка тщательно перетасовывается, затем из первой во вторую, не глядя, перекладывают 2 карты, и вторая кучка снова тасуется. После этого из второй кучки извлекают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковой масти.
3.34. По данным статистики, в среднем 65% посетителей гипермаркета составляют женщины и на 35% – мужчины. Причем, по результатам исследования, выяснилось, что покупки совершают 50% женщин и 80% мужчин.
а) Какова вероятность того, что случайно взятый покупатель окажется мужчиной?
б) Какова вероятность того, что он окажется женщиной?
3.35. Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 3/10; вероятность попадания в него в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 1/5. Какова вероятность поражения противника при трех выстрелах?
3.36. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке — фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка.
а) Какова вероятность того, что эта фамилия принадлежит мужчине?
б) Если предположить, что выбранная фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?
3.37. Вероятность прибыльной торговли торговца квасом при солнечной погоде равна 90%, при переменной облачности – 50%, в дождливую погоду – 5%. По прогнозам синоптиков летом вероятность солнечной погоды составляет 70%, переменной облачности – 20%, в дождливую погоду – 10%.
а) Найти вероятность того, что продавец кваса получит прибыль.
б) По результатам работы за неделю продавец кваса остался в прибыли. Какова вероятность того, что в это время стояла дождливая погода?
3.38. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая».
а) Какова вероятность того, что в настоящий момент индекс экономического состояния увеличился?
б) Какова в случае увеличения индекса экономического состояния вероятность того, что экономика страны на «хорошем» уровне?
3.39. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ и 10% — в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров - 60%, на международных — 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он:
а) бизнесмен;
Если он оказался бизнесменом, то какова вероятность, что он:
б) прибыл из стран СНГ;
в) прилетел местным рейсом;
г) прибыл международным рейсом.