Завдання для самостійного розв’язування.

4.1. Розв’язати системи рівнянь матричним методом та за правилом Крамера:

а) ;	б) ;		в) ;
г) ;		д) .

Відповіді:

4.1. а) (1; 2); б) (2; 3); в) (1; 1; 2); г) (2; 1; 3); д) (0; 1; 2).

§5. Ранг матриці і його обчислення

Розглянемо матрицю розміру .

.

Означення. Мінором -го порядку матриці називається визначник -го порядку, складений з елементів матриці, що стоять на перетині деяких рядків і стовпців.

Наприклад:

,

, – мінори 1–го порядку. Очевидно, що мінорами 1–го порядку є елементи матриці.

– мінор 2–го порядку. (В мінорах матриці нижні індекси вказують номери рядків, а верхні – номери стовпців матриці, що використовуються для утворення даного мінора).

,

– мінори 3–го порядку

– мінор 4–го порядку, який містить нульовий рядок.

Приклад дозволяє зробити такий висновок: для матриці можливий порядок її мінорів – це натуральне число, яке задовольняє нерівність .

Означення. Рангом матриці називається максимальний порядок її відмінного від нуля мінора. Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Ранг матриці позначається і, очевидно, задовольняє нерівність

У розглянутому прикладі у матриці є відмінний від нуля мінор 3–го порядку, а всі мінори 4-го порядку дорівнюють нулю (переконайтесь самостійно). За означенням, .

Приклад 1.

,

, а всі мінори 2–го порядку дорівнюють нулю (перевірте самостійно, враховуючи властивості визначників). Тому .

Приклад 2.

; ; .

. Отже, .

Приклад 3.

– одинична матриця -го порядку.

, тобто ранг одиничної матриці дорівнює її порядку.

Таким чином, якщо , то це означає, що у даної матриці є мінор порядку , відмінний від нуля, а всі мінори більш високих порядків, якщо існують, дорівнюють нулю.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції над матрицею:

1. Транспонування матриці.

2. Перестановка місцями паралельних рядів.

3. Викреслювання нульового ряду, а також усіх, окрім одного, із паралельних пропорційних рядів.

4. Множення ряду на число, відмінне від нуля.

5. Додавання до елементів ряду відповідних елементів паралельного ряду, помножених на довільне число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Означення. Матриці називаються еквівалентними, якщо вони мають однаковий ранг.

За допомогою елементарних перетворень матрицю можна привести до еквівалентної їй одиничної матриці, порядок якої визначає ранг вихідної матриці.

Схема обчислення рангу матриці

Методом елементарних перетворень

1. Переставкою рядків або стовпців (при необхідності) вибираємо перший діагональний елемент матриці , який назвемо ключовим (головним, розв’язувальним).

2. У наступній матриці ключовий елемент замінюється одиницею, а всі інші елементи ключового рядка і ключового стовпця замінюються нулями.

3. Усі інші елементи, які розташовані під ключовим рядком та праворуч ключового стовпця матриці, знаходяться за правилом „прямокутника”. А саме, якщо – ключовий елемент, то в новій матриці елемент знаходиться за формулою , яку можна зобразити

у вигляді „прямокутника”:

4. Здійснюється перехід до наступного кроку (вибираємо наступний ключовий діагональний елемент ).

Приклад. Обчислити ранг матриці.

Розглянемо обчислювання елементів другої матриці за правилом „прямокутників”:

Викреслюємо нульовий третій стовпчик і переходимо до наступного кроку.

- одинична матриця 2–го порядку .