2.3. Решение нелинейных уравнений

Любое уравнение можно представить в виде (x)=0, если перенести все компоненты уравнения в одну сторону, тогда поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции (x) с осью абсцисс.

В случае, когда невозможно или крайне затруднителен поиск прямых методов решения для нахождения корней нелинейных уравнений, применяют итерационные методы решения. Ниже представлены три итерационных метода решения нелинейных уравнений: метод половинного деления, метод Ньютона (метод касательных) и модифицированный метод Ньютона (метод хорд).

2.3.1. Метод половинного деления

Существует ряд методов численного решения нелинейных уравнений, целесообразность применения каждого из которых определяется видом уравнения, его порядком, требуемой точностью и т.д.

Возможность нахождения корня уравнения заданным методом строится на утверждении, что функция, пересекающая ось абсцисс, имеет различные знаки функции по разные стороны от корня уравнения, если это не так, то заданный метод не может быть применен. В случае, когда функция касается одной точкой оси абсцисс, при этом знак ее не меняется, представленный метод нахождения корней нелинейных уравнений может быть применен, например, для функции y=x² (рис. 1).

Рис. 1. Графическая интерпретация метода половинного деления

Пусть дано уравнение (x)=0, где (x)-непрерывная функция, и корень Р отделен на отрезке [a,b]. Требуется найти значение корня Р с точностью Е.

Суть алгоритма нахождения корня уравнения заданным методом можно представить совокупностью повторяющихся операций, называемых итерациями.

Алгоритм одной итерации можно представить в следующем виде:

• делим отрезок [a,b], на котором имеется один корень уравнения, на две равные части, полученную точку назовем “c” (рис.1);

• далее необходимо определить, на каком из полученных отрезков [a,c] или [c,b] находится корень уравнения, на рис.1 хорошо видно, что знаки функции на концах отрезков [a,c] имеют различные знаки, а для отрезка [c,b] одинаковые. Следовательно, корень уравнения находится на том отрезке, где функции для аргументов концов отрезка будут иметь различные знаки. Математически это можно записать так: ;

• после того как мы нашли новый отрезок, задачу можно свести к предыдущей, переименовав точку “c” в точку “b”, так как задача свелась к предыдущей, то можно проделать описанные шаги еще раз;

• итерации повторяются до тех пор, пока разница между большим и меньшим значениями отрезка не будет меньшим либо равным точности вычисления .

2.3.2. Метод Ньютона (метод касательных)

Расчетная формула метода Ньютона-Рафсона получается из разложения функции (x) = 0 в ряд Тейлора в окрестности точки x_n . При ограничении разложения двумя членами ряда получим

(x) = (x_n) + (x-x_n)'(x_n) + O("(x_n)) .

Здесь O (от английского order) означает порядок остаточного члена в разложении, который в дальнейшем считается малым.

Из соотношения (x)  (x_n) + (x - x_n)'(x_n)  0

получаем .

Обычно окончательная формула записывается в виде

.

Таким образом, зная какое-либо предыдущее приближение x_n , где n-номер приближения или итерации (n  0), можно определить последующее приближенное значение корня x_n+1. Если разность текущего и предыдущего значения аргумента по модулю меньше либо равно точности, | x_n+1 – x_n |  , то значение x_n+1 считается приближенным значением корня уравнения (x) = 0.

Кроме предыдущего условия окончания вычисления, можно использовать условие малости функций (x) около корня, т.е.

|(x_n)| _f или |(x_n+1)| _f, где _f –заданная погрешность.

Рассмотрим геометрическое толкование метода касательных (рис.2), где значения корня Р определяется следующим образом.

Рис.2. Графическая интерпретация метода касательных

Исходя из некоторого начального приближения x₀ , находим соответствующее ему значение (x₀). Проводим касательную к кривой (x) через точку (x₀) и ищем точку пересечения этой касательной с осью Х. Эта точка будет значением x_n, так как требовалось провести через точку с координатами (x₀, (x₀)) прямую с угловым коэффициентом '(x₀) и затем найти её пересечение с осью Х.

Величина отрезка |x₀ - x_n| больше заданной погрешности , поэтому поиск значения корня продолжается аналогично: зная только что найденное значение x_n, которое принимается за исходное, определяем (x_n) ,  '(x_n) и x_n+1 по той же формуле

x_n+1 = x_n , далее опять проверяется условие |x_n+1 – x_n|   .

Подобное рассмотрение продолжается до тех пор, пока не выполнятся условия окончания поиска приближенного значения корня.