2.3.1. Методика расчета планового баланса по заданным валовым выпускам продукции Xiпл

Плановый баланс при заданных величинах валовой продукции Х_J^пл по формуле (8) рассчитывается в следующем порядке:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитываются коэффициенты прямых материальных затрат:

2. Определяются плановые межотраслевые потоки:

хij^пл=aij Xj^пл.

3. Рассчитываются величины конечной продукции планового баланса.

4. Определяются элементы вектора условно-чистой продукции:

5. Проверяется правильность вычислений:

6. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

2.3.2. Коэффициенты полных материальных затрат и методы их расчета

Задача нахождения валовых выпусков Х_j при заданном конечном потреблении по формуле (9), т.е. при заданных Y_i, является более сложной.

В формуле (9) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E-A)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е-А).

Матрица В=(E - A)^-1 носит название "матрица полных затрат", а ее элементы - "коэффициенты полных затрат" b_ij.

Матрица (E - A)^-1 представима в виде сходящегося ряда (формула Неймана – без доказательств):

В = (E - A)^-1= Е + А + А^2 + А^3 + ...

(10)

Выясним экономический смысл коэффициентов b_ij матрицы В=(E - A)^-1.

Систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

(13) Х=ВY

(11)

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения (11) для любой i-ой отрасли можно получить следующее соотношение:

(12)

Если положить Y = I_j = (0, ...1, ...0), то получим Х_i=b_ij, т.е. коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовой выпуск i-ой отрасли, чтобы обеспечить выход 1 ед. конечного продукта в j-ой отрасли.

Из соотношений (12) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij коэффициенты полных материальных затрат b_ij включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается ниже.

Дадим определение коэффициента полных затрат: коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли Y_j.

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

,

(13)

где и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Как уже отмечалось, коэффициенты полных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой "руда-чугун-сталь-прокат". Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т.д. Схематически это можно отразить так:

Прокат

Сталь

Электроэнергия

Прямые затраты А

Чугун

Электроэнергия

Косвенные затраты 1-го порядка А^2

Руда

Электроэнергия

Косвенные затраты 2-го порядка А^3

Чтобы подсчитать полные затраты одного вида продукта на 1 ед. другого, например электроэнергии на 1 ед. проката, нужно сложить прямые и косвенные затраты всех порядков.

Косвенные затраты С в ряде (10) представлены в виде матриц А², А³ и т.д.

С = А^2 + А^3 + ... + А^k.

(14)

Из ряда (10) с учетом (14)

В = Е + А + С,

(15)

или в поэлементной записи:

,

(16)

т

(18)

.е.

bijaij и bii1+aii.

(17)

Как видим из формулы (16), диагональные элементы матрицы В на единицу больше суммы прямых и косвенных затрат, так как коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам нахождения матрицы B.

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А известна, то матрицу В можно находить:

1) по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры;

2) используя разложение в ряд Неймана (10).

Второй способ является приближенным.

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В.

При этом способе предварительно находят матрицу Е-А. Затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют (Е-А)^-1. Используется, например, формула:

,

(18)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е-А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е-А)', а в знаменателе стоит определитель матрицы (Е-А). Алгебраические дополнения, в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (-1)^i+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-ой строки и j-го столбца.

Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Порядок вычислений:

а) находим матрицу (Е-А):

б) вычисляем определитель этой матрицы:

в) транспонируем матрицу (Е-А):

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е-А)':

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

д) используя формулу (18), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется чаще формула (10).

В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком). При расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков.

Пример 2. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальных затраты до 2-го порядка включительно.

а) найдем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

б) матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

в) матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

Как отмечалось ранее, элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов этой матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.