- •Задание № 1-1.
- •7. Вычислить выражения:
- •Вычислить:
- •Задание № 4-5.
- •Задание 5-3.
- •3. Вычислить определители:
- •Задание 6-5.
- •Задание № 73.
- •Задание № 8-3.
- •Задание 9-4.
- •Ответы.
- •Задание 102.
- •Ответы.
- •Задание № 13 4.
- •Ответы.
- •Задание № 145.
- •Ответы.
- •Задание № 153.
- •Ответы .
- •Задание № 16-1.
- •Ответы.
Задание № 8-3.
1.Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований:
2.Вычислить ранг матриц:
а) б) в)
3.Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :
4.Докажите,что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется от приписывания к матрице А всех столбцов матрицы В.
Ответы
1a. 3. 1б. 3. 1в. 3.
2а. 2. 3. 2 при = 0, 3 при 0.
2б. 5.
2в. 3. 4. Док-во.
Задание 9-4.
1.Перемножить матрицы:
2. Вычислить: а) б) в)f(x)=x2 2x + 1, x =
3.Решить уравнения: а) б)
4.Найти обратную матрицу к матрице: а) б) в)
5.Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.
6.Найти общее решение и фундаментальную систему решений сис- тем уравнений:
а) х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 0, б) х1 + х2 = 0,
3х1 + 2х2 + х3 + х4 3х5 = 0, х3 + х4 = 0,
х2 + 2х3 + 2х4 + 6х5 = 0, х2 + ix3 = 0.
5х1 + 4х2 + 3х3 + 3х4 х5 = 0;
Ответы.
1а. 2а. 3а.
1б. 2б. 3б. Реш. нет.
1в. 2в. 4а. 4б.
1г. 4в. 5.
6a. ФСР: (1, -2, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 1, 0), (5, 6, 0, 0, 1);
Общ. реш.: x1, = C1 + C2 + 5C3, x2 = 2C1 2C2 6C3, x3 = C1, x4 = C2, x5 = C3.
6б. ФСР: (i, i, 1, 1); Общ. реш.: x1 = Сi, x2 = Ci, x3 = C, x4 = C.
Задание 102.
1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) на g(x):
а) f(x) = x3 3x2 x 1, g(x) = 3x2 2x + 1;
б) f(x) = 2x5 5x3 + 8x, g(x) = x + 3.
2.При каком условии полином х4 + px2 + q делится на полином вида х2 + mx + 1?
3.Подобрать такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1:
f(x) = x4 x3 4x2 + 4x + 1, g(x) = x2 x 1.
4.Найти наибольший общий делитель многочленов:
а) х6 + 2х4 4х3 3х2 + 8х 5 и х5 + х2 х + 1,
б) х4 4х3 + 1 и х3 3х2 + 1.
5.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной: f(x)=(x1)3(x+1)2(x3).
6.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М1(х) и
М2(х) так, чтобы f1(x)M2(x) + f2(x)M1(x) = (x), где (x) наибольший общий делитель f1(x) и f2(x): f1(x) = x5 + 3x4 + x3 + x2 + 3x + 1,
f2(x) = x4 + 2x3 + x + 2 .
Ответы .
1а. 1/9(3x7), 1/9(26x+2). 4a. х3 x + 1.
1б. (2x4 6x3 + 13x2 39x + 4б. x2 2x 1.
+ 125)(x + 3) 375. 5. (x1)2 (x + 1).
2. 1) q = p 1, m=0, 6. f1(x) + (x + 1)f2(x) = x3 + 1.
2) q = 1, m = .
3. U(x) = x 1, V(x) = x3 + x2 3x 2.
Задание № 111
Разложить на неприводимые множители над полем С или полем
вещественных чисел многочлены:
1. х6 15х4 + 8х3 + 51х2 72х + 27, 2. х 3 6х2 + 11х 6,
3. х12 + х8 + х4 + 1, 5 0 4. х4 + 4.
Ответы
1. (x 1)3(x + 3)3(x 3).
2. (x 1)(x 2)(x 3).
3. (x2 + x+ 1)(x2 x+ 1)(x2 + x+ 1)(x2
x+ 1)(x2 + x + 1)(x2 x+ 1).
4. (x2+ 2x + 2)(x2 2x + 2).
Задание № 122.
1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х х0:
a) f(x) = x5, x0 = 1,
б) f(x) = 2x5 5x3 8x, x0 = 3.
2.Отделить кратные множители полиномов:
-
f(x) = x5 10x3 20x2 15x 4,
-
f(x) = x8 + 2x7 + 5x6 + 6x5 + 8x4 + 6x3 + 5x2 + 2x + 1.
3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице
значений: x 1 0 1 2 3
f(x) 6 5 0 3 2