6. Планирование эксперимента

6.1. Основные понятия и определения

Ранее уже приводились некоторые основные понятия и определения из теории планирования эксперимента, рассмотрим их более подробно.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее: минимизация общего числа опытов; одновременное варьирование всеми факторами, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам; использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Целью планирования эксперимента является получение математической модели объекта при минимальном количестве поставленных опытов. Под математической моделью в данном случае понимается уравнение связи между входными параметрами – факторами (x₁, x₂, ..., x_n) и выходными параметрами – параметрами оптимизации (у₁, у₂, …, у_m). В общем виде уравнение связи можно записать следующим образом: y = f(x₁, x₂, ..., x_n).

Задачи, для решения которых может быть использовано планирование эксперимента:

• поиск оптимальных условий ведения процесса;

• определение факторов, оказывающих наибольшее влияние на процесс;

• определение параметров теоретических моделей;

• исследование диаграмм состав-свойство и т.д.

Параметр оптимизации – это отклик (реакция) объекта на воздействие факторов. В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть: экономические; технико-экономические; технико-технологические и прочие. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения.

Возможны два пути оптимизации исследуемого процесса.

Первый – из всех параметров оптимизации выбирается только один, самый важный (критерий), а остальные служат ограничениями.

Второй – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных параметров.

Требования, предъявляемые к параметру оптимизации

Параметр оптимизации должен быть:

• количественным и выражаться одним числом;

• измеряемым, т.е. мы должны иметь возможность его измерять;

• однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному значению факторов должно соответствовать только одно, с точностью до ошибки измерения, значение параметра оптимизации;

• универсальным, т.е. способным всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры недостаточно универсальны, т.к. они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров;

• иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым.

Фактором называется какой-либо исходный параметр процесса, выбранный исследователем для воздействия на объект и принимающий в ходе проведения эксперимента различные значения. Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Фактор считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения фактора понимается совокупность всех его значений, которые он в принципе может принимать.

Факторы бывают качественные и количественные. Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т.п. Так как им не соответствует числовая шкала, для них строят условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда. Например, если в качестве уровней варьирования фактора выбрано месторождение сырья, то каждому месторождению присваивается порядковый номер и закрепляется за ним. Номера месторождений и будут представлять условную порядковую шкалу. Количественный фактор представляет собой переменную величину, которую можно оценивать количественно: измерять, взвешивать, титровать и т.п. Например, к количественным факторам можно отнести температуру, расход потока, концентрацию вещества в потоке и т.п.

Требования, предъявляемые к факторам:

• управляемость. Это значит, что выбранное значение фактора можно поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. управлять им. Планировать эксперимент можно только в том случае, если все факторы управляемы. В противном случае эксперимент называется пассивным;

• операциональность. Фактор является операциональным, если можно указать последовательность действий (операций) с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Например, если фактором является давление, то необходимо указать, в какой точке аппарата и с помощью какого прибора оно должно измеряться и как оно должно регулироваться;

• точность. Точность фиксации факторов должна быть высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения фактора;

• однозначность. Фактор должен непосредственно воздействовать на объект, а не через другие факторы.

Требования к совокупности факторов:

• независимость. Ни один из факторов, задействованных в эксперименте, не должен зависеть от других факторов, т.е. должна быть возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Например, исследуя некоторую термодинамическую систему, нельзя одновременно изменять три таких фактора, как давление, объем и температура, т.к. в этом случае любой третий фактор будет всегда зависеть от двух других;

• совместимость. Это значит, что все комбинации задействованных факторов должны быть осуществимы и безопасны.