9.1. 9. Построение индикаторной и тепловой диаграмм цикла

Назначение и значимость индикаторной и тепловой диаграмм цикла.

Обе эти диаграммы представляют собой графическое изображение термодинамических процессов, из которых состоит цикл, и дают визуальное представление о форме цикла и его основных параметрах. Особенно важное значение эти диаграммы имеют при изучении термодинамических процессов и при анализе круговых циклов.

Индикаторная диаграмма визуально отображает зависимость изменения давления рабочего тела от его объёма, во всех термодинамических процессах, составляющих цикл. Т.к. цикл круговой, то каждая следующая кривая P = f(V) начинается в точке, в которой заканчивается кривая предыдущего термодинамического процесса.

Отличительной особенностью индикаторной диаграммы цикла является возможность визуально сравнивать и оценивать механическую работу отдельных термодинамических процессов и цикла в целом.

Действительно, уравнение 4.5 показывает, что механическая работа процесса, его участка или цикла в целом вычисляется как интеграл от давления рабочего тела по его объёму. Из этого следует, что площадь фигуры, ограниченной кривой давления рабочего тела, осью V и ординатами концов отрезка кривой, численно равна механической работе изменения объёма рабочего тела. Площадь фигуры, ограниченной всеми термодинамическими кривыми цикла, численно равна механической работе в цикле – индикаторной работе цикла.

Тепловая диаграмма визуально отображает зависимость изменения температуры рабочего тела от его энтропии во всех термодинамических процессах, составляющих цикл. Известно, что энтропия – функция состояния рабочего тела, и это означает, что, как и индикаторная, тепловая диаграмма представляет собой круговой цикл. Т.к. цикл круговой, то каждая следующая кривая T = f(S) начинается в точке, в которой заканчивается кривая предыдущего термодинамического процесса.

Тепловая диаграмма представляет не меньшие возможности для анализа. Из определения энтропии для обратимого термодинамического процесса

ds = dq/T

следует, что визуально площадь под кривой каждого процесса отображает тепловую энергию, которой рабочее тело обменивается теплом с окружающей средой. Отсюда: площадь фигуры всего замкнутого цикла численно равна суммарной теплоте, которой рабочее тело обменивается с окружающей средой, - т.е. эта площадь численно равна механической работе цикла. Тепловая диаграмма даёт также и визуальное представлении о количестве подведенной и отведенной за цикл тепловой энергии.

9.2. Последовательность построения индикаторной и тепловой диаграмм цикла и результаты расчётов параметров для построения диаграмм

Из предыдущего раздела понятно: для графического построения индикаторной и тепловой диаграмм необходимо изобразить в координатах P, V и T, S все термодинамические процессы, составляющие цикл. Можно графически изображать эти процессы аналитическими кривыми (рис. 1 и рис. 2 приложения построены именно так в пре- постпроцессоре Hyper Mesh), а можно строить кривые термодинамических процессов традиционно – по точкам (координатам). Студенту необходимо выполнить расчёт координат диаграмм, а само построение допускается выполнить любым способом.

Для построения диаграмм необходимы значения параметров состояния рабочего тела не только в характерных точках цикла, но и в промежуточных точках кривых термодинамических процессов. Для удобства дальнейшего изложения переименуем характерные точки цикла. Параметры состояния рабочего тела в точке “a” в дальнейшем будем обозначать с индексом “1”, в точке “c” - с индексом “5”, в точке “y” - с индексом “7”, в точке “z” - с индексом “9”, в точке “b” - с индексом “13”. Именно между этими характерными точками, представляющими начало и концы всех термодинамических процессов, и рассчитаем промежуточные параметры состояния рабочего тела.

Предлагается разделить термодинамические процессы на участки следующим образом:

процесс политропного сжатия на четыре участка с тремя промежуточными точками “2, 3 и 4”. Эти точки разделяют объём, описываемый поршнем в этом процессе, на равные доли;

Процесс изохорного подвода тепла на два участка с одной промежуточной точкой “6”. В точке “6” давление рабочего тела является среднеарифметической величиной давлений на концах этого процесса;

Процесс изобарного подвода тепла на два участка с одной промежуточной точкой “8”. В точке “8” объём рабочего тела - среднеарифметическая величина объёмов на концах этого процесса;

Процесс политропного расширения на четыре участка с тремя промежуточными точками “10, 11 и 12”. Эти точки разделяют объём, описываемый поршнем в этом процессе, на равные доли;

Процесс изохорного отвода тепла на четыре участка с тремя промежуточными точками “14, 15 и 16”. Эти точки разделяют величину изменения давления в этом процессе на четыре равные доли.

Параметры состояния рабочего тела во всех промежуточных точках определяем по тем же уравнениям, по которым ранее определялись параметры в характерных точках цикла. Небольшое замечание сделаем относительно расчёта знтропии. Ранее рассчитывалось только лишь изменение энтропии на каждом отдельном участке. Теперь примем, что энтропия рабочего тела в характерной точке цикла “a” (точка “1” во вновь принятых обозначениях) равна нулю и от этого значения отсчитывается значение энтропии во всех остальных точках цикла.

Выполним расчёт.

Значения параметров состояния в точках процесса политропного сжатия.

V₁ = Va = 0.002 м³; P₁ = 0.083 МПа; T₁ = 310 K; S₁= 0 Дж/K

V₅ = Vc = 0.00015 м³; P₅ = 2.934 МПа; T ₅ = 843 K;

S₅ = S₁ + ∆Sa-c = 0.068 Дж/K

V₂ = V₁ – (V₁ – V₅)/4 = 0.00154м³; P₂ = P₁*(V₁/V₂)ⁿ¹ = 0.120МПа;

Т₂ = T₁*(V₁/V₂)^{n1 -1} = 343K;

S₂ = S₁ + Nмол*MCпm_{(T1 - T5)}* ln(T₂ / T₁) = 0.007 Дж/K.

V₃ = = V₁ – 2*(V₁ – V₅)/4 = 0.00108м³; P₃ = P₁*(V₁/V₃)ⁿ¹ = 0.196МПа;

Т₃ = T₁*(V₁/V₃)^{n1 -1} = 395K;

S₃ = S₁ + Nмол*MCпm_{(T1 - T5)}* ln(T₃ / T₁) = 0.016 Дж/K.

V₄ = = V₁ – 3*(V₁ – V₅)/4 = 0.00062м³; P₄ = P₁*(V₁/V₄)ⁿ¹ = 0.427МПа;

Т₄ = T₁*(V₁/V₄)^{n1 -1} = 491K;

S₄ = S₁ + Nмол*MCпm_{(T1 - T5)}* ln(T₄ / T₁) = 0.031 Дж/K.

Значения параметров состояния в точках процесса изохорного подвода тепла.

V₅ = Vc = 0.00015 м³; P₅ = 2.934 МПа; T ₅ = 843 K;

S₅ = S₁ + ∆Sa-c = 0.068 Дж/K

V₇ = Vc = 0.00015 м³; P₇ = 4.401 МПа; T₇ = 1264 K;

S₇ = S₅ + Nмол*MCvm_{(T5 - T7)}* ln(T₇ / T₅) = 0.702 Дж/K

V₆ = Vc = 0.00015 м³; P₆ = 0.5*(P₅ + P₇) = 3.667 МПа;

T₆ = T₅*(P₆/P₅) = 1054 K;

S₆= S₅ + Nмол*MCvm_{(T5 - T7)}* ln(T₆/ T₅) = 0.417 Дж/K

Значения параметров состояния в точках процесса изобарного подвода тепла.

V₇ = Vc = 0.00015 м³; P₇ = 4.401 МПа; T₇ = 1264 K;

S₇ = S₅ + Nмол*MCvm_{(T5 - T7)}* ln(T₇ / T₅) = 0.702 Дж/K

P₉ = P₇ = 4.401 МПа; V₉ = 0.00022*м³; T₉ = = 1770 K;

S₉= S₇ + Nмол*MCpm_{(T7 - T9)}* ln(T₉/ T₇) = 1.450 Дж/K

P₈ = P₇ = 4.401 МПа; V₈= 0.5*(V₇ + V₉) = 0.00018*м³;

T₈ = T₇(V₈/V₇) = 1517 K

S₈= S₇ + Nмол*MCpm_{(T7 - T9)}* ln(T₈/ T₇) = 1.107 Дж/K

Значения параметров состояния в точках процесса политропного расширения.

P₉ = P₇ = 4.401 МПа; V₉ = 0.00022*м³; T₉ = = 1770 K;

S₉= S₇ + Nмол*MCpm_{(T7 - T9)}* ln(T₉/ T₇) = 1.450 Дж/K

V₁₃ = V₁ = Va = 0.002 м³; P₁₃ = Pb = 0.304 МПа; T₁₃ = 1134 K;

S₁₃ = S₉ + Nмол*MCпm_{(T9 – T13)}*ln(T₁₃/T₉) = 1.899 Дж/K

V₁₀ = = V₉ + (V₁₃ – V₉)/4 = 0.00066м³; P₁₀= P₉*(V₉ /V₁₀)ⁿ² = 1.145МПа;

Т₁₀ = T₉*(V₉/V₁₀)^{(n2 -1)} = 1414K;

S₁₀ = S₉ + Nмол*MCпm_{(T9 - T13)}* ln(T₁₀ / T₉) = 1.676 Дж/K.

V₁₁ = = V₉ + 2*(V₁₃ – V₉)/4 = 0.00111м³;

P₁₁= P₉*(V₉ /V₁₁)ⁿ² = 0.617МПа; Т₁₁ = T₉*(V₉/V₁₁)^{(n2 -1)} = 1276 K;

S₁₁ = S₉ + Nмол*MCпm_{(T9 - T13)}* ln(T₁₁ / T₉) = 1.780 Дж/K.

V₁₂ = = V₉ + 3*(V₁₃ – V₉)/4 = 0.00155м³;

P₁₂= P₉*(V₉ /V₁₂)ⁿ² = 0.411МПа; Т₁₂ = T₉*(V₉/V₁₂)^{(n2 -1)} = 1192 K;

S₁₂ = S₉ + Nмол*MCпm_{(T9 - T13)}* ln(T₁₂ / T₉) = 1.848 Дж/K.

Значения параметров состояния в точках процесса изохорного отвода тепла.

V₁₃ = V₁ = Va = 0.002 м³; P₁₃ = Pb = 0.304 МПа; T₁₃ = 1134 K;

S₁₃ = S₉ + Nмол*MCпm_{(T9 – T13)}*ln(T₁₃/T₉) = 1.899 Дж/K

V₁ = Va = 0.002 м³; P₁ = 0.083 МПа; T₁ = 310 K; S₁= 0 Дж/K

V₁₄= Va = 0.002 м³; P₁₄ =P₁₃ - (P₁₃ – P₁)/4 = 0.248 МПа;

T₁₄ = T₁₃*(P₁₄/P₁₃) = 928 K;

S₁₄= S₁₃ + Nмол*MCvm_{(T13 - T1)}* ln(T₁₄/ T₁₃) = 1.603 Дж/K

V₁₅= Va = 0.002 м³; P₁₅ =P₁₃ – 2*(P₁₃ – P₁)/4 = 0.193 МПа;

T₁₅ = T₁₃*(P₁₅/P₁₃) = 722 K;

S₁₅= S₁₃ + Nмол*MCvm_{(T13 - T1)}* ln(T₁₅/ T₁₃) = 1.232 Дж/K

V₁₆= Va = 0.002 м³; P₁₆ =P₁₃ – 3*(P₁₃ – P₁)/4 = 0.138 МПа;

T₁₆ = T₁₃*(P₁₆/P₁₃) = 516 K;

S₁₆= S₁₃ + Nмол*MCvm_{(T13 - T1)}* ln(T₁₆/ T₁₃) = 0.735 Дж/K

Для удобства построения диаграмм составлена сводная таблица параметров состояния рабочего тела

Индикаторная и тепловая диаграммы цикла приведены на рис.1 и рис.2 приложения.

Сводная таблица параметров состояния рабочего тела

№ точки; наименование процесса		V, м^3	P, МПА	S, Дж.К	T, K
Политропное Сжатие	1	0.002	0.083	0.0	310
	2	0.00154	0.119	0.007	343
	3	0.00108	0.196	0.016	395
	4	0.00062	0.427	0.031	491
	5	0.00015	2.934	0.068	843
Изохорный подвод тепла	5	0.00015	2.934	0.068	843
	6	0.00015	3.667	0.417	1054
	7	0.00015	4.401	0.702	1264
Изобарный подвод тепла	7	0.00015	4.401	0.702	1264
	8	0.00018	4.401	1.107	1517
	9	0.00022	4.401	1.450	1770
Политропное расширение	9	0.00022	4.401	1.450	1770
	10	0.00066	1.145	1.676	1414
	11	0.00111	0.617	1.78	1276
	12	0.00155	0.410	1.848	1192
	13	0.002	0.304	1.899	1134
Изохорный отвод тепла	13	0.002	0.304	1.899	1134
	14	0.002	0.248	1.603	928
	15	0.002	0.193	1.232	722
	16	0.002	0.138	1.735	516
	1	0.002	0.083	0.0	310