- •Часть 1
- •3.1 Появление определителей в теории слау
- •3.2 Отображения
- •3.3 Перестановки n-ой степени
- •3.4 Четные и нечетные перестановки
- •3.5 Суммирование по множеству
- •3.6 Определитель n-го порядка
- •3.7 Свойства определителя
- •3.8 Теорема Лапласа
- •3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Определитель произведения матриц
- •Формула обратной матрицы
- •Теорема Крамера
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
В.Б. Дыбин
Алгебра
Лекции и практика
Методическое пособие первокурснику
Часть 1
Модуль 3
Определители
2008 г.
Гл. 3. Определители
Мы приступаем к изучению одного из самых трудных понятий, связанных с матрицами, понятия определителя. Каждой квадратной действительной матрице можно поставить в соответствие действительное число, которое по специальной формуле выражается через элементы этой матрицы и называется её определителем. Определители появляются в процессе построения формул для решения определённых СЛАУ с квадратными матрицами и имеют большое значение для линейной алгебры. В связи с этим отметим только, что в терминах определителей в первой части курса будет получена формула обратной матрицы, а позже – изучены наиболее глубокие, так называемые спектральные свойства, квадратных матриц. Вместе с тем, определители давно уже стали общематематическим, а более точно общенаучным инструментом, так как без них немыслимы многие разделы не только математики, но и физики, экономики и др. В частности, позже мы увидим, как с помощью определителей, получаются формулы для площадей фигур и объёмов тел.
Содержание ближайших лекций распадается на 3 части. Вначале необходимо провести некоторую подготовку для того, чтобы дать определение определителя произвольного порядка. Для этого мы изучим простейшие свойства отображений множеств и так называемых перестановок -той степени. Поскольку формула определителя -ого порядка достаточно сложна и вычисления по этой формуле слишком громоздки, а поэтому нецелесообразны в общем случае, основную часть времени мы потратим на изучение свойств определителя и построение эффективного алгоритма их вычисления. В последнем случае вновь большую роль будут играть приёмы, связанные с методом Гаусса, что ещё раз подчеркивает глубокую связь между теорией определителей и теорией СЛАУ. Наконец, после этого будут рассмотрены первые приложения определителей в алгебре матриц и теории СЛАУ, в частности, будет получена формула обратной матрицы.
Лекция VIII.
План
3.1 Появление определителей в теории СЛАУ.
3.2* Отображения.
3.3 Перестановки -той степени.
3.4 Четные и нечетные перестановки.
3.5 Суммирование по множеству.
3.1 Появление определителей в теории слау
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
(3.1)
и применим к ней метод исключения неизвестных в общем виде, налагая при необходимости соответствующие ограничения на её коэффициенты.
Умножим первое уравнение на и вычтем из него второе уравнение, умноженное на . Получим, что
.
Полагая , имеем
. (3.2)
Теперь умножим второе уравнение на и вычтем из него первое уравнение, умноженное на . Получим, что
,
то есть
. (3.3)
Выражение
называется определителем матрицы
и обозначается специальным символом
. (3.4)
Определитель вида (3.4) называют также определителем второго порядка. Заметим, что выражения, стоящие в числителях формул (3.2) и (3.3), также являются определителями второго порядка,
, .
Это позволяет переписать формулы (3.2) и (3.3) в виде
, . (3.5)
Формулы (3.5) называются формулами Крамера. Напомним, что они получены нами в предложении, что .
Вместо системы (3.1) можно рассмотреть систему третьего порядка и, проводя исключение двух неизвестных в каждом из трёх уравнений, получить формулы Крамера и для этого случая. В этих формулах уже будут участвовать определители третьего порядка (см. [3], Гл.I, §4). Позже, построив теорию определителей произвольного порядка, мы выведем формулы Крамера для системы уравнений с неизвестными.