2. Самосопряженные операторы.

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется самосопряженным или симметричным, если A = A^*, т.е. для любых векторов двух a, b E выполняется условие:

(Aa, b) = (a, Ab). (1)

Теорема 1. Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т. е. A = A^*.

Доказательство. По определению, оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A = A^*.

Линейные операторы A, A^* однозначно определяются своими матрицами A и A^*. Тогда оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A = A^*. В силу теоремы 2 в ортонормированном базисе это равносильно условию A = A^t, т.е. симметричности матрицы A. 

Теорема 2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому являются собственными значениями линейного оператора.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - матрица самосопряженного линейного оператора A в базисе v. Докажем, что все корни характеристического уравнения A - E = 0 действительные числа. Допустим противное, что характеристический многочлен имеет комплексный корень ₀R. Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - ₀E)X = 0,

где X - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X₀. Подставим в систему и получим (A - ₀E)X₀ = 0. Умножим полученное тождество слева на строку :

. (2)

. Покажем, что. Обозначим При транспонировании квадратная матрица порядка 1 не меняется и мы имеем

С другой стороны, переходя к сопряженным числам, получаем

Так как симметрическая матрица с действительными элементам, то Поэтому и yR. Так как число неравно нулю, то из равенства (2) находим, что ₀R. Получаем противоречие. Следовательно, все корни характеристического уравнения действительные числа.

Следствие 1. Если A - действительная симметрическая матрица, то все корни уравнения A - E = 0 действительные числа.

Доказательство. Матрица A является матрицей самосопряженного линейного оператора A, корни уравнения A - E = 0 являются собственными значениями оператора A. По теореме 2 они действительные числа.

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Пусть , - собственные значения линейного оператора A,   . Тогда Ax = x, Ay =  y. Далее с одной стороны, (Ax, y) =(x, y) = (x, y). С другой стороны, (Ax, y) = (x, Ay) = (x, y) =  (x, y). Из этих двух равенств следует (x, y) =  (x, y), ( -  )(x, y) =0. Так как   , то (x, y) = 0.

Определение 2. Подпространство L евклидово пространство E называется инвариантным относительно линейного оператора A, если образ L при отображении A лежит в L, т.е. A(L^)  L^.

Теорема 4. Если подпространство L инвариантно относительно самосопряженного оператора A, то и ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно A.

Доказательство. По определению для любого a  L, Aa  L. Тогда для любого b  L^ имеем (Aa, b) =0. По определению 1 (Aa, b) = (a, Ab). Поэтому (a, Ab) = 0, Ab  L^ и A(L^)  L^.

Теорема 5. Пусть A - самосопряженный линейный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве E. Тогда в E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Доказательство. Теорему доказываем методом математической индукцией по размерности n. Если n = 1, то каждый вектор собственный в и в качестве требуемого базиса возьмем любой вектор единичной длины из E.

Предположим, что теорема доказана пространств размерности n - 1,и докажем ее для n-мерного пространства E_n. По теореме 2 линейный оператор A имеет хотя бы одно собственное значение  и собственный вектор b. Тогда подпространство Е₁ = L(b) инвариантно относительно оператора A. Обозначим e его единичный вектор. Ортогональное дополнение Е_n-1 подпространства Е₁ имеет размерность n - 1 и инвариантно относительно A.

Рассмотрим сужение A' оператора A на подпространство: A'(a) = A(a), для любого a  Е_n-1. Так как свойство самосопряженности (Aa, b) = (a, Ab) выполняется для всех векторов a, b E_n, то оно выполняется и для всех векторов из Е_n-1. Если b  Е_n-1 - собственный вектор оператора A', то b собственный вектор и оператора A: Ab = A'b =  b.

По индуктивному предположению существует ортонормированный базис e₁, e₂,…, e_n-1 подпространства Е_n-1, состоящий из собственных векторов оператора A'. Рассмотрим систему векторов e₁, e₂,…, e_n-1, e. Все векторы e₁, e₂,…, e_n-1ортогональны: по построению, e ортогонален каждому из них, так как e Е₁, e₁, e₂,…, e_n-1 Е_n-1 - ортогональному дополнение Е₁. Длина каждого из этих векторов равна 1. Каждый из них является собственным для оператора A. Следовательно, система векторов ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора A. 

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

1. Составить характеристическое уравнение линейного оператора A - .E = 0.

2. Найдем все корни характеристического уравнения.

3. Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - .E)X=0.

4. Ортонормируем, полученный базис.

Пример. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве Е₃, имеет в ортонормированном базисе e₁, e₂, e₃ матрицу

.

Найти в Е₃ ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и составить матрицу оператора A в этом базисе.

Решение. 1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора A - .E = 0.

2. Найдем все корни характеристического уравнения: ₁=-1, ₂ = ₃ = 1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид

.

2. Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - .E)X=0.

Пусть ₁=-1. Матричное уравнение (A - ₁E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение x = c(1,-2,1), cR.

Пусть ₂ = ₃ = 1. Матричное уравнение (A - ₁E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение x = c₁(2,1,0) + c₂(-1,0,1), cR.

2. Ортонормируем, полученный базис.

a₁ = (1,-2,1), a₂ = (2,1,0), a₃ =(-1,0,1).

b₁ = (1,-2,1), b₂ = (2,1,0), b₃ = a₃ + k b₂, , b₃ =(-1/5, 2/5, 1/5).

.