- •Лекция 4. Предел функции одной переменной План
- •1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
- •2. Предел функции и арифметические операции
- •3. Критерий существования предела функции
- •4. Односторонние пределы функции одной переменной
- •5. Односторонние пределы монотонной функции
- •Вопросы
5. Односторонние пределы монотонной функции
Пусть функция определена на .
Определение 8. Функция называется ограниченной сверху на , если , что для выполняется неравенство: . Постоянная называется верхней границей функции на .
Верхних границ у ограниченной сверху функции существует бесконечно много. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей и обозначается: .
Определение 9. Функция называется ограниченной снизу на , если , что для выполняется неравенство: . Постоянная называется нижней границей функции на .
Нижних границ у ограниченной снизу функции существует бесконечно много. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей и обозначается: .
Определение 10. Функция называется ограниченной на , если она ограничена и снизу, и сверху. Иначе: функция является ограниченной на , если , что для выполняется неравенство: .
Пример. Функция является ограниченной, когда , поскольку для : .
Пример. Функция является ограниченной, когда , но не будет ограниченной для .
Определение 11. Функция называется монотонно возрастающей на множестве , если для из того, что следует, что . Функция называется строго монотонно возрастающей на множестве , если для из того, что следует, что .
Определение 12. Функция называется монотонно убывающей на множестве , если для из того, что следует, что . Функция называется строго монотонно убывающей на множестве , если для из того, что следует, что .
Определение 13. Монотонно возрастающие, строго монотонно возрастающие, монотонно убывающие, строго монотонно убывающие функции называются монотонными функциями.
Пример. Функция является строго монотонно возрастающей, когда , строго монотонно убывающей, когда , не является монотонной, когда .
Теорема 6. Пусть функция определена и монотонна на , тогда для в каждой точке существуют оба односторонних предела.
Вопросы
-
Определения предела функции по Коши, по Гейне.
-
Геометрический смысл предела функции в точке.
-
Как может вообще вести себя функция в точке ?
-
Может ли функция в точке иметь предел, если она не определена в этой точке?
-
Как влияет на существование предела функции и значение этого предела в точке поведение функции в самой точке ? Ответ объяснить.
-
Сколько пределов может иметь функция в точке?
-
Пусть для функций и : , . Доказать, что .
-
Условие Коши для функции в точке . Критерий Коши существования предела функции в точке .
-
Определения односторонних пределов функции в точке . Может ли функция не иметь односторонних пределов в точке ? Привести примеры.
-
Ограниченность функции. Привести примеры ограниченных и неограниченных функций.
-
Монотонность функции. Теорема об односторонних пределах монотонной функции.