- •Лекція 4. Границя функції однієї змінної План
- •1. Визначення границі функції за Коші і за Гєйне. Геометричний зміст границі функції в точці
- •2. Границя функції і арифметичні операції
- •3. Критерій існування границі функції
- •4. Однобічні границі функції однієї зміної
- •5. Однобічні границі монотонної функції
- •Питання
2. Границя функції і арифметичні операції
Теорема 3. Нехай для функцій і : , . Тоді
-
;
-
;
-
.
Доказ теореми витікає з аналогічної теореми для послідовностей і визначення границі функції за Гєйне. Доведемо для прикладу пункт 2.
Оскільки за умовою теореми , , то за визначенням границі функції за Гєйне це буде означати, що для , для якої виконуються умови:
1) для ;
2)
відповідні послідовності значень функцій і є збіжними і , а . Оскількі і - збіжні, то за теоремою 6 лекції 2 послідовність також буде збіжною і .
Ми отримали, що що для , для якої виконуються умови 1,2, відповідна послідовність значень є збіжною і . За визначенням границі функції за Гєйне з цього витікає, що , що й потрібно було довести.
3. Критерій існування границі функції
Визначення 4. Кажуть, що функція задовольняє умові Коші в точці , якщо для таке, що для виконується нерівність:
.
Геометрично умова Коші для в точці означає, що яким би малим не було число , завжди можна знайти такий окіл точки , що для аргументів з цього околу відстань між відповідними значеннями функції буде меншою за .
Умова Коші для функції в точці є аналогом фундаментальності для числової послідовності.
Теорема 4 (критерій Коші збіжності функції в точці). Для того, щоб функція мала границю в точці , необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші в цій точці. (без доказу).
4. Однобічні границі функції однієї зміної
Нехай .
Визначення 5. Правим (лівим) напівоколом точки називається інтервал (), де .
Нехай функція визначена в деякому правому напівоколі точки .
Визначення 6. Число називається границею функції в точці справа (чи правобічною границею) і позначається
,
якщо для таке, що для виконується нерівність:
.
Визначення 7. Число називається границею функції в точці зліва (чи лівобічною границею) і позначається
,
якщо для таке, що для виконується нерівність:
.
Лівобічна і правобічна границі разом називаються однобічними границями.
Якщо , то в позначенні однобічних границь пишуть не , , а
, .
Приклад. Нехай . Знайти однобічні границі функції в точці .
При обчисленні лівобічної (правобічної) границі в точці поведінка функції, її значення, її формула розглядаються зліва (справа) від .
Почнемо з правобічної границі. Будь-який правобічний окіл точки містить у собі тільки додатні значення , для яких , а , тоді
,
оскільки границя сталої, незалежно від того, куди прямує , дорівнює їй самій.
Будь-який лівобічний окіл точки містить у собі тільки від’ємні значення , для яких , а , тоді
.
Отримані однобічні границі мають різні значення. Графік функції представлений на рис.5. Зрозуміло, що не існує.
Теорема 5 (критерій існування границі функції). Для того, щоб функція мала границю в точці необхідно і достатньо, щоб у цій точці існували обидві однобічні границі, і вони були рівні.
Доказ. Необхідність. Нехай існує . За визначенням границі функції за Коші це означає, що для таке, що для виконується нерівність: . Умова (**) виконується тоді, коли виконується умова (*). Умова (*) означає, що , тобто , може знаходитись як справа (умова (**) виконується), так і зліва (умова (**) виконується) від , (рис.6).
Рис.6.
Виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що , а виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що , що й потрібно було довести.
Достатність. Нехай існують . З існування правобічної границі за визначенням 6 випливає, що для таке, що для виконується нерівність:
.
З існування лівобічної границі за визначенням 7 випливає, що для таке, що для виконується та ж сама нерівність:
.
Позначимо: . Якщо задовольняє умові: , то він обов’язково опиниться чи в правому, чи в лівому визначених вище напівоколах точки , а тому буде мати місце нерівність . Таким чином,
для , що буде виконуватися: , а це означає, що , що й потрібно було довести.
Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція (графік представлений на рис.6).
Знайдемо однобічні границі функції в точці :
.
Оскільки
,
то за попередньою теоремою
.
Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція .
Почнемо з обчислення правобічної границі:
.
Оскільки правобічна границя функції в точці не існує, то за попередньою теоремою не існує і .