1. Основные уравнения математической физики. Распространение тепла и диффузия.

2. Основные уравнения математической физики. Уравнение неразрывности.

3. Основные уравнения математической физики. Уравнение гидродинамики идеальной жидкости.

4. Основные уравнения математической физики. Уравнения электростатики и постоянного электрического тока.

5. Основные уравнения математической физики. Уравнение поперечных колебаний струны.

6. Основные уравнения математической физики. Уравнение продольных колебаний стержня.

7. Основные уравнения математической физики. Стационарные уравнения.

8. Краевые условия и краевые задачи.

9. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 2-го порядка. Приведение уравнений к каноническому виду.

10. Уравнение характеристик. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка.

11. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа и их канонические формы.

12. Уравнения гиперболического типа. Колебания неограниченной струны и волновое уравнение.

13. Волновое уравнение. Формула Даламбера для однородного волнового уравнения.

14. Волновое уравнение. Распространение волн отклонения.

15. Волновое уравнение. Распространение волн импульса.

16. Волновое уравнение. Формула Даламбера для неоднородного волнового уравнения.

17. Волновое уравнение. Колебания струны с закрепленными концами.

18. Понятие об обобщенных решениях.

19. Краевые задачи для однородного волнового уравнения. Метод Фурье.

20. Краевые задачи для однородного волнового уравнения. Задача Штурма-Лиувилля.

21. Краевые задачи для неоднородного волнового уравнения. Метод Фурье.

22. Краевые задачи для неоднородного волнового уравнения. Функция источника.

23. Задача о вынужденных колебаниях струны с заданными законами колебаний ее концов.

24. Задача о вынужденных колебаниях струны, в которой вынуждающая сила и условия закрепления концов струны не зависят от времени.

25. Колебания прямоугольной мембраны.

26. Волновое уравнение для электромагнитных волн.

27. Уравнения параболического типа. Постановка краевых задач.

28. Уравнения параболического типа. Решение краевой задачи методом Фурье для однородного уравнения.

29. Задача о влиянии мгновенного сосредоточенного источника.

30. Распространение тепла в ограниченном стержне при и .

31. Распространение тепла в ограниченном стержне при и .

32. Неоднородное уравнение теплопроводности. Функция Грина.

33. Задача о распространении тепла в прямоугольной пластине.

34. Задача о распространении тепла в бесконечном цилиндре.

35. Уравнения эллиптического типа. Уравнение Лапласа и его фундаментальное решение в пространстве и на плоскости.

36. Гармонические функции и их свойства.

37. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа.

38. Метод функции Грина для решения задачи Дирихле.

39. Задача Дирихле уравнения Лапласа для полупространства.

40. Решение краевых задач уравнения Лапласа методом разделения переменных.

41. Задача Дирихле уравнения Лапласа для круга.

42. Мультипольное разложение потенциала.

43. Применение конформного отображения для решения задач электростатики.

44. Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Римана.

45. Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Брюгерса.

46. Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ).

Контрольные работы

I. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Уравнения в частных производных второго порядка имеет вид:

(1)

где u, a, b, c –функции х и у.

Переход к канонической форме можно осуществить с помощью общих интегралов обыкновенного дифференциального уравнения второй степени

, (2)

Это уравнение разрешимо относительно производной

,

и распадается на два уравнения

. (3)

Знак подкоренного выражения в уравнениях (3) определяет тип уравнения (1): D > 0 - уравнение гиперболического типа, в этом случае уравнение (2) имеет два семейства характеристик: и с помощью преобразования независимых переменных: уравнение (1) приводится к канонической форме - ; D = 0 - уравнение параболического типа, в этом случае уравнение (2) имеет только одно семейство характеристик: , и с помощью замены переменных , ( - какая-нибудь произвольная функция, линейно независимая с функцией , и для которой ) уравнение (1) приводится к канонической форме вида ; D < 0 - уравнение эллиптического типа, в этом случае уравнение (2) имеет два комплексно-сопряженных интеграла , причем функции являются действительными функциями своих аргументов, а являются решениями уравнения (2) в комплексной области

После преобразования переменных каноническая форма уравнения (1) будет иметь вид:

.

Вариант №1

Привести уравнения к каноническому виду

1. .

2. .

3. .

Вариант №2

Привести уравнения к каноническому виду:

1. .

2. .

3. .

Вариант №3

Привести уравнения к каноническому виду:

1. .

2. .

3. .

Вариант №4

Привести уравнения к каноническому виду:

1. .

2. .

3. .

Вариант №5

Привести уравнения к каноническому виду:

1. .

2. .

3. .

II. Метод характеристик

Вариант №1

Найти общее решение уравнений:

1. .

2. 

3. .

Вариант №2

Найти общее решение уравнения:

1. .

2. .

3. .

Вариант №3

Найти общее решение уравнений:

1. .

2. .

3. .

Вариант №4

Найти общее решение уравнений:

1. 

2. .

3. .

Вариант №5

Найти общее решение уравнений:

1. .

2. .

3. .