5.1.3. Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов а и b обозначается a × b. Результатом век­торного произведения является вектор: с = a × b.

Свойства векторного произведения:

• Если a = pb, где р — скаляр, то с = a × b = 0, иначе длина вектора с равна:

|c| = |a||b|sinγ, (5.4)

где γ — угол между векторами а и b. Направление вектора с перпендикуляр­но а и b и таково, что a, b, с именно в таком порядке образуют правосто­роннюю тройку. Это означает, что если а поворачивается на угол меньше 180° по направлению к вектору b, то вектор с имеет направление, совпа­дающее с направлением поступательного движения винта с правой нарезкой при таком повороте.

• Пусть р — некоторая константа, тогда справедливы соотношения:

(ра) × b = р(а × b);

а × (b + с) = а × b + а × с;

а × b = -b × а;

в общем случае а × (b × с) ≠ (а × b) × с.

• Для правой ортогональной системы координат, определяемой вектора i, j, k, справедливы соотношения: i × i = j × j = k × k = 0; i × j = k; j × k = i; k × i = j; j × i = -k; k × j= -j; i × k = -j. Учитывая эти соотношения для векторного произведения, имеем:

а × b = (a₁i + a₂j + a₂k) × (b₁i + b₂j + b₂k),

отсюда получаем:

а × b = (а₂b₃ — a₃b₂)i + (а₃b₁ — a₁b₂)j + (а₁b₂ — а₂b₁)k. (5.5)

Правая часть уравнения (5.5) является выражением детерминанта третьего порядка (5.11). Отсюда выражение (5.5) может быть записано в матричной форме:

(5.6)

5.2. Детерминанты

Рассмотрим систему уравнений:

(5.7)

Чтобы решить систему (5.7), умножим первое уравнение на b₂, а второе на –b₁ и сложим, получим: (a₁b₂ - а₂b₁)х = b₂с₁ - b₁с₂. Затем первое уравнение умножим на -а₂, а второе — на а₁ и сложим, в результате получим: (а₁b₂ - а₂b₁)у = а₁с₂ - а₂с₁,

если a₁b₂ - а₂b₁ ≠ 0, то:

(5.8)

Выражение в делителе может быть записано:

(5.9)

Выражение (5.9) называется детерминантом второго порядка.

C помощью детерминантов уравнение (5.7) может быть записано в виде:

(5.10)

D_i (i=1, 2) получается заменой i-го столбца на правую часть системы (5.7). Такой способ пригоден для решения систем двух и более уравнений и называется «правилом Крамера».

Детерминант третьего порядка имеет вид:

(5.11)

Аналогично записываются детерминанты более высоких порядков.

5.2.1. Свойства детерминантов

Рассмотрим основные свойства детерминантов.

• При транспонировании матрицы (если строки записать в столбцы) зна­чение детерминанта не изменяется:

• Перемена мест двух строк (столбцов) меняет знак детерминанта:

• Если любую строку (столбец) умножить на число, то значение детерми­нанта умножится на это же число:

• Если строка (столбец) изменяется путем добавления соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на константу, то значе­ние детерминанта не изменится:

• Если строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то значение детерминанта равно нулю:

Использование детерминантов позволяет в удобной форме описывать разные геометрические объекты. Например, уравнение прямой в двумерном пространстве (R²), проходящей через точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) может быть записано следующим образом:

(5.12)

Справедливость этой записи подтверждается следующим рассуждением: если, например, х = х₁, у = y₁, то первая строка является линейной комби­нацией, следовательно, D = 0.

Плоскость в трехмерном пространстве (R³), проходящая через точки P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃) может быть описана следующим образом:

(5.13)