5.4. Задачи

Решить системы уравнений с помощью правила Крамера.

1. 2.

3. 3.

5. 6.

Решить системы уравнений методом Гаусса.

7. 8.

9. 10.

11.

12.

6. Однородные линейные системы

6.1. Общее решение однородной системы

Однородной линейной системой называется система уравнений вида

Любая однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Особенностью однородной системы является то, что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы.

Определение. Если ранг матрицы равен , то всякая совокупность из линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений.

Для отыскания общего решения системы достаточно найти ее фундаментальную систему решений и составить их линейную комбинацию

.

Фундаментальная система решений строится следующим образом. Выделяем базисную систему уравнений, главные и свободные неизвестные. Предположим, что свободными являются неизвестные . Зададим определитель порядка , отличный от нуля

.

Принимая значения элементов го столбца определителя за значения свободных переменных, решаем базисную систему уравнений. Получившиеся решений образуют фундаментальную систему решений. Один из возможных вариантов выбора определителя состоит в задании его как определителя единичной матрицы

.

Пример. Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение системы уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Очевидно, ранг матрицы системы равен 3, следовательно, фундаментальная система будет состоять из двух решений. За главные неизвестные можно принять , за свободные . Базисная система уравнений

Задаем свободные неизвестные

Решая базисную систему, получим фундаментальные решения

Тогда общее решение

6.2. Задачи

Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение систем уравнений.

1. 2.

3. 4.

5.

7. Неоднородные системы

7.1. Общее решение неоднородной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему . Соответствующая ей однородная система называется приведенной системой уравнений.

Решения неоднородной и приведенной систем связаны следующим образом. Сумма любого решения неоднородной системы и любого решения приведенной системы является решением неоднородной системы. Разность двух произвольных решений неоднородной системы есть решение приведенной системы. Поэтому общее решение неоднородной системы можно получить, прибавляя к любому ее частному решению общее решение приведенной системы

.

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

Выделим базисную систему уравнений, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

.

Так как , то система совместна. Базисная система уравнений

.

Найдем теперь частное решение неоднородной системы. Примем за главное, а за свободные неизвестные. Положим . Тогда частное решение

.

Соответствующая приведенная система имеет вид

.

Для нахождения фундаментальной системы решений зададим значения свободных неизвестных

Тогда фундаментальные решения приведенной системы

.

Откуда общее решение неоднородной системы

.

Пример 2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :

Исследование начинаем с проверки системы на совместность. Так как система является квадратной, то по теореме Крамера при она совместна и имеет единственное решение. Для значений , при которых необходимы дополнительные исследования. Вычислим

.

Если , то и решение системы находим по формулам Крамера

.

Пусть . Тогда расширенная матрица системы

.

Очевидно, что и система совместна. Базисная система уравнений

.

Решая эту систему так же как в примере 1, получим общее решение

,

где произвольные постоянные.

Пусть . Преобразуем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

.

По виду первой строки ступенчатой матрицы определяем, что система несовместна.