- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7. 10. Дифференциальное уравнение вида
Уравнение данного вида решается путем повторного интегрирования n раз.
Интегрируем уравнение
;
;
.
Аналогично можно получить
,
……………………………………………………………………
.
Пример 7.16. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях .
Находим . Подставим , получим .
.
Находим =.
Подставим начальные значения в полученное равенство, найдем значение . .
Таким образом, общее решение
,
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
.
7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
1. Дифференциальные уравнения вида , в которых функция не зависит от y, решаются с помощью подстановки .
Находим и подставляем в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно p . Если удастся найти решение данного уравнения , то решение исходного уравнения найдется как интеграл .
Пример 7.17. Решить уравнение при .
Принимаем . Уравнение примет вид .
Разделим переменные .
Далее интегрируем уравнение .
.
Получаем общее решение .
Находим частное решение. Из уравнения находим .
; .
Из общего решения находим .
; .
Частное решение .
2. Дифференциальные уравнения вида , не содержащие в явном виде x, решаются с помощью замены . Производную в данном случае представим в виде
.
В результате замены уравнение приобретает вид . Если удается найти общее решение этого уравнения , то далее интегрируют уравнение . Данное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем , найдем общий интеграл
.
Пример 7.18. Решить уравнение .
Выполняем замену , получаем или . Разделяем переменные и интегрируем .
Так как , далее необходимо решить уравнение .
Находим .
В зависимости от начальных условий может принять либо положительное, либо отрицательное значение.
Если , то , и общий интеграл уравнения имеет вид .
Если , то и
общий интеграл имеет вид .
7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
В общем случае данные уравнения имеют вид
,
где непрерывные функции.
Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е.
.
Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение .
Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции .
Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения.
Действительно, .
Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где постоянные также является решением этого уравнения.
В силу линейности уравнения имеем
.
Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения.
Действительно,
.