3.4. Устойчивость оценок

Соотношение (3.26) дает возможность указать конкретный вид производственной функции для модели производственной системы с линейным технологическим множеством (рассмотрен-ная выше модель (1.1)-(1.6)):

Если рассматривать достаточно “малые” изменения величин b_i, в рамках которых оптимальные двойственные оценки у_i^* не изменяются, то последние являются частными производными функционала с по величине ограничения b_i.

Действительно,. В данном случае экономическое содержание производной (или соответствующей двойственной оценки) — прирост товарного выпуска при увеличении потребления i-го ресурса на единицу.

Отметим предельный характер данного свойства оценок. Свойство выполняется до тех пор, пока оценка не меняет своей величины. А последнее выполняется в случае, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана.

Характер изменения оценки иллюстрирует рис 3.1. На рисунке b_i ⁽⁰⁾ — начальный запас i-го ресурса, которому соответствует оценка у_i^* . В пределах [b_i ⁽⁰⁾, b_i ⁽¹⁾] , базис оптимального плана, а, следовательно, и значения у_i^* остаются неизменными. Мероприятия по изменению лимита ресурсов в этих пределах носят название малых мероприятий и их эффективность может быть точно измерена с помощью оценок. При изменении запаса до величины, превышающей b_i ⁽¹⁾ , оценка уменьшается вследствие изменения базиса оптимального плана. При этом у_i ⁽¹⁾  у_i^*.

у_i

у_i^*

у_i ⁽¹⁾

малые малые

мероприятия1 мероприятия 2 у_i ^{( l )}

большие мероприятия

b_i ⁽⁰⁾ b_i ⁽¹⁾ b_i ^{( l )} b_i

Рис.3.1.Иллюстрация малых и больших мероприятий

Если , то у_i ⁽¹⁾   и i-й ресурс продолжает оставаться дефицитным (но с меньшей “теневой” ценой), если , то у_i ⁽¹⁾ = 0 и i-й ресурс перестает быть дефицитным. Мероприятия, в результате которых оценка i-го ресурса становится равной нулю (на рис. у_i ^{( l )}), носят название больших.

Для определения границ устойчивости двойственных оценок ресурсов вернемся к матрице эффективности D для модели (1.1)-(1.6). В соответствии с условием (3.3) D = (А*)^-1 . Напомним, что А* включает только те столбцы из исходной матрицы норм затрат, которые соответствуют базисным (ненулевым) переменным оптимального плана.

Матрица D не зависит от величины каждой из x_j^*, а зависит только от ее номера j. Лишь появление новой ненулевой переменной вызовет появление нового столбца в матрице A^*, что изменит и обратную ей матрицу D , а следовательно, и вектор оценок. Любое изменение величины базисной переменной x_j^* оставит неизменными матрицы A^*, D и вектор У. Любое изменение, кроме уменьшения до нуля, так как в этом случае базисная переменная становится небазисной, выходит из оптимального плана, а на ее место встает новая переменная, ранее принимавшая нулевое значение.

Таким образом, границы устойчивости оценок зависят от устойчивости не величин, а номеров базисных переменных оптимального плана. Определяются же эти границы выходом хотя бы одной переменной из базиса, т.е. ее уменьшением до нуля.

При каких условиях в оптимальном плане переменные будут менять свою величину? Согласно (3.5)

где d_ji – элементы матрицы D . Изменим величины ресурсов, дав им приращение b_i. Тогда изменятся и значения неизвестных:

Очевидно, что

Для простоты положим, что меняется значение лишь одного k -го ресурса, т.е. b_k  , а b_i =  для всех i  k. Тогда

 x_j ^*= d_jk b_k .

Для нахождения границ устойчивости оценок нас интересуют лишь случаи уменьшения величины базисных переменных оптимального плана x_j ^*, причем уменьшения до нуля, т.е.  x_j ^* = - x_j ^*. Итак, выход на границы устойчивости оценок имеет место в случае

- x_j ^*= d_jk b_{k .} (3.27)

Из условия (3.27) легко определить требуемое для этого значение изменения ресурсов. При положительном коэффициенте d_jk требуется уменьшать k-й ресурс, при отрицательном коэффициенте d_jk — увеличивать. Так как изменение k-го ресурса будет изменять все базисные переменные x_j ^*, то граница устойчивости определится самым чувствительным из них, т.е. тем, который быстрее прочих уменьшится до нуля. Достаточно выхода из базиса лишь одного переменного и появления на его месте нового с новым номером, чтобы изменить оценки. Поэтому требуемое для достижения границ устойчивости увеличение k-го ресурса определится из выражения

b_k⁽⁺⁾ = min {- x_j ^*/ d_jk } , для d_jk  , (3.28)

j

а уменьшение — из выражения

b_k^(-) = max {- x_j ^*/ d_jk } , для d_jk  . (3.29)

j

Естественно, что при d_jk =  изменение k-го ресурса, не способно изменить величину x_j ^*.

Изменим сразу все (несколько) лимитов ресурсов в фиксированной пропорции (g₁: g₂:... : g_m-1: g_m ). Изменения каждого i-го ресурса и всего вектора ограничений в целом b свяжет выражение b_i = g _i b , c учетом которого условие (3.27) преобразуется так

В свою очередь из (3.30), аналогично условиям (3.28) и (3.29), имеем

Определим границы устойчивости оценок в примере по добыче топлива в его первоначальном варианте — без заданий по выпуску, т.е. задачи (1.1)-(1.6). Ее оптимальный план представлен в табл.3.1(в). В соответствии с ним добывается торф (x₁ = 110 тыс.т), уголь (x₂ = 29 тыс.т) и остается неиспользованной часть электроэнергии (x₄ = 30 тыс. кВт.ч). Матрица D выглядит следующим образом. В сравнении с табл. 3.1(в) ее строки упорядочены по возрастанию номеров базисных переменных:

x₃ x₄ x₅

x₁^* -2,5 0 5

D = x₂^* 2,25 0 -0,5

x₄^* 0,5 1 - 5 .

Напомним, что вследствие транспонирования по строкам матрицы D идут базисные неизвестные (т.е. торф, уголь, остаток электроэнергии), а по столбцам ресурсы (фонд оборотных средств, электроэнергия, трудовые ресурсы).

Элементы d_ji матрицы D являются коэффициентами замены (взаимозаменяемости) базисных переменных по ресурсам, показывая, на сколько уменьшится оптимальное значение базисного переменного x_j^* при уменьшении b_i на единицу. Отрицательные коэффициенты взаимозаменяемости покажут размер увеличения (т.е. отрицательного уменьшения) базисного переменного x_j^* при единичном уменьшении величины ресурса b_i .

Для первого ресурса положительны коэффициенты замены для угля (2,25) и остатка электроэнергии (0,5) . В соответствии с (3.29)

При уменьшении фонда оборотных средств будут уменьшаться добыча угля и неиспользованный остаток электроэнергии. Первым из них уменьшится до нуля, выйдет из базиса переменная x₂ — добыча угля. Для этого достаточно уменьшить фонд оборотных средств на 12 8/9 тыс. руб., т.е. с 30 до 7 1/9 тыс.руб.

Для этого же ресурса отрицателен лишь коэффициент замены для торфа (-2,5). В соответствии с (3.28)

При увеличении фонда оборотных средств на 44 тыс.руб., т.е. с 20 до 64 тыс.руб., добыча торфа уменьшится до нуля.

Итак, границы устойчивости оценок при изменении фонда оборотных средств весьма широки — от 7 1/9 до 64 тыс.руб.

Оптимальный план в последнем случае включит в себя добычу угля x₂ = 128 тыс.т) и неиспользованный остаток электроэнергии ( x₄ = 52 тыс.кВт.ч). Все прочие переменны — нулевые (x₁ = x₃ = x₅ = 0). Характерно, что на границе интервала устойчивости оценок базисная переменная x₁ уже вышла из оптимального плана, а новая из прежних нулевых (x₃ или x₅) еще не успела войти в оптимальный план. Увеличение суммарной добычи условного топлива еще пока можно вычислить через первоначальные оценки, так как мы находимся на границе области устойчивости и еще не покинули ее. Увеличение первого ресурса на 44 тыс.руб при оценке равной 2,075 т у.т., даст прирост в 91,3 тыс. т у.т. Суммарная же добыча условного топлива в новом плане достигает 153,6 тыс.т.

Отметим еще интересный случай нечувствительности угля и торфа к изменению ресурсов электроэнергии. Отсутствие отрицательных коэффициентов замены для электроэнергии говорит о том, что увеличение этого ресурса до сколь-угодно больших пределов не изменит по сути решения. Будет лишь параллельно расти неиспользованный остаток электроэнергии.

Итак, мы рассмотрели метода определения интервалов устойчивости двойственных оценок по ресурсным ограничениям модели (1.1)-(1.6).

Рассмотрим теперь вопрос об оценке “чувствительности” оптимального решения к возможной неточности исходной информации относительно коэффициентов вектора выпуска р₁,..., р_j,..., p_n .

Согласно второму соотношению (2.28) технологические способы P₁,..., P_k , вошедшие в базис оптимального плана , удовлетворяют требованию компенсации части эффекта, недополученного от отвлечения дефицитных ресурсов, полученным эффектом. Разница между недополученным и полученным эффектом есть двойственная оценка технологического способа .В соответствии с (2.28) для интенсивных технологических способов _j = 0, а для неинтенсивных _j  0, что соответствует превышению недополученного эффекта над величиной р_j . Заметим, что ненулевые оценки технологических способов в последней симплекс-таблице указываются в целевой строке.

С помощью оценок _j определяется близость отвергнутых вариантов к области оптимума и, следовательно, может быть оценена “чувствительность” оптимального решения к возможной неточности исходной информации, касающейся вектора выпуска.

Проведем оценку устойчивости оптимального решения в задаче (1.1)-(1.6) по вектору выпуска с запасом прочности в  процентов: т.е. будем считать, что для технологических способов, вошедших в оптимальный план, оценка дохода была изначально завышена в (1+) раз, а для невошедших в оптимальный план —соответственно занижена в (1+) раз.

В принятой системе оценок новые характеристики технологических способов изменятся P₁,..., P_k , P_k+1,..., P_n , и примут следующие значения:

..........................................................................

...................................................................................................

Ясно, что оценки ₁,..., _k по сравнению ₁,..., _k с ухудшились (“отошли” от нулевых), а оценки _k+1 ,..., _n по cравнению с _k+1 ,..., _n улучшились (“приблизились” к нулевым). Если при этом, однако, ни одна из оценок первой группы (₁,..., _k) не выше какой-либо оценки из второй группы (_k+1 ,..., _n), то можно утверждать, что оптимальное решение в задаче (1.1)-(1.6) обладает запасом прочности по вектору выпуска в  процентов, так как даже при самом неблагоприятном для фирмы стечении обстоятельств набор интенсивных технологических способов продолжает оставаться экономически эффективным.