§ 5. Основные теоремы о пределах

Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность – была бесконечно малой в этой точке.

Доказательство. Обозначим разность – через , т.е. – = . Если – предел функции , то |–| = || <   O (,). Но это означает, что является бесконечно малой в точке = . Необходимость доказана. Если – бесконечно малая, то

|| = |–| <   O (,). Последняя запись означает, что является пределом функции в точке = . Достаточность доказана.

Теорема 1. Пусть функции и определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = . Если существуют пределы функций и в точке = , то существуют и следующие пределы:

1. (+) = + ,

2. () = ,

3. = , если  0.

Доказательство. Пусть = , = . Тогда согласно лемме

= + , = + . (1)

Учитывая (1), запишем = = +

+ = + , или

= + (2),

где = – бесконечно малая (согласно теоремам 1–3 предыдущего параграфа).

Равенство (2) согласно лемме означает, что

= или = . Таким образом, третье утверждение теоремы доказано. Первое и второе утверждения доказываются аналогично. Доказать их самостоятельно.

Из второго утверждения теоремы вытекает следующее следствие: если = C = const, то (C) =

= C, т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

Теорема 1 значительно облегчает нахождение пределов.

Пример. Найти .

Решение. Используя теорему 1, запишем

= = =

= = 1.

Теорема 2 (о двух милиционерах). Пусть функции , , определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = .

Если     O (,) и =

= = , то = .

Доказательство. Согласно лемме = + , = = + , где и – бесконечно малые в точке

= , т.е. || <   O (,) и || <   O (,). Данное в условии теоремы неравенство

+   + (3)

будет, очевидно, выполняться в наименьшей из трех окрестностей точки = , т.е.   O (,), = min(,,).

Перепишем неравенство (3) так:

– <  –  <   O (,), или

|– | <   O (,).

Последнее неравенство означает, что = . Теорема доказана.

Теорема 3 (правило замены переменной). Если существует предел функции в точке и существует предел функции в точке , причем = , то = . (Без доказательства).

§ 6. Замечательные пределы

Рассмотрим функцию

= . Она не определена в точке = 0, тем не менее предел её в этой точке существует и равен единице. Докажем это. Из чертежа при

0 < < ясно, что

< < (1)

где и – площади треугольников ОМВ и ОСА, а – площадь кругового сектора. Радиус окружности будем считать равным единице. Тогда, выражая площади через угол , неравенство (1) перепишем так:  < < , или

< <  < < . (2)

В неравенстве (2) все функции являются четными, поэтому оно верно и для отрицательных , т.е. при < < ,  0. Устремляя к нулю и пользуясь теоремой о двух милиционерах, получим

= 1. (3)

Формулу (3) называют первым замечательным пределом.

Прежде, чем перейти ко второму замечательному пределу, приведем формулу бинома Ньютона

= , (4)

где = 1, = ,  N,

= 123....

Формулу (4) можно доказать методом математической индукции. Мы её докажем позже другим методом.

Рассмотрим последовательность = . Используя формулу бинома Ньютона, получим

= 1 +  + + + ... +

+ = 1 + 1 + +

++...+.... (5)

Из (5) видно, что последовательность {} монотонно возрастающая, т.к. при замене n на n + 1 каждое слагаемое в (5) возрастает и добавляется еще одно положительное слагаемое.

Покажем теперь, что эта последовательность ограниченна сверху. Действительно,

< 1 + 1 + + + ... +  1 + 1 +++...+ =

= 1 + = 1 + 2 –  3,  n  N. (6)

(Сначала мы отбросили скобки меньшие единицы, и результат возрос. Затем учли, что  и воспользовались формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = ).

Итак, последовательность {} монотонно возрастает и ограниченна сверху, следовательно, имеет предел (см. Теорему 2 §2). Этот предел называют числом е.

= е. (7)

Число е является иррациональным, е = 2,718... .

Рассмотрим теперь функцию = и докажем, что она имеет предел при  +  равный е. Для любого положительного действительного числа имеет место неравенство n  < n + 1. Для обратных величин этого неравенства получим

<   1 + < 1 +  1 + .

Если левую часть последнего неравенства возвести в степень n, среднюю – в степень x, а правую – в степень n + 1 , то неравенство только усилится, т.е.

<  . (8)

Легко убедиться, что = e, = e.

Поэтому из (8) по теореме о двух милиционерах следует, что

= e. (9)

Покажем теперь, что = e. Действительно,

= = =

= = e.

Последняя формула и формула (9) называются вторым замечательным пределом.

Можно доказать, что

1. = e, 4) = ,

2. = , 5) = 1,

3. = 1, 6) = .