Задание № 3. Свойства систем счисления

Литература: [18, с.5-7].

Примеры решения задач:

1. Разница между данным двузначным пятеричным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный куб. Найти данное число.

Решение:

Пусть аb – данное пятеричное число, тогда bа – число, записанное в обратном порядке. Согласно условию задачи, имеем:

аb - bа = с³.

Представим полученные числа в виде сумм соответствующих степеней:

(5а + b) - (5b + a) = с³, 4(a - b) = с³.

Так как данное двузначное число записано в пятеричной системе счисления, то значения а и b находятся в следующих границах: 0 < a ≤ 4, 0 ≤< b ≤ 4. Произведение чисел 4 и a - b, стоящих в левой части последнего равенства, дает полный куб лишь тогда, когда a - b = 2. А значит, возможны следующие варианты значений цифр а и b:

Таким образом, условию задачи удовлетворяют следующие пятеричные числа: 20, 31, 42.

П

_- 20₅

2

₅

13₅

роверка: 20₅ - 2₅ = или

Аналогично проверяются числа 31 и 42.

2. Если к произведению данного двузначного троичного числа на 11 прибавить 12, то полученное число совпадет со значением квадрата данного числа. Найти данное число.

Решение:

Согласно условию задачи имеем:

Обозначив 3a+b через х, получим следующее уравнение x² - 11 x - 12 = 0 ,которое имеет корня х₁ = 12, х₂ = -1. Но 3a+b>0 и так как а и b – цифры числа, записанного в троичной системе счисления (а значит, 1 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 2, то 3a+b ≤ Следовательно, не существует такого двузначного числа в троичной системе счисления, которое удовлетворяло бы решению задачи.

Неужели в ее условие вкралась ошибка?

Проанализируем текст условия. Итак, для данного числа известно основание системы счисления, однако оно неизвестно для чисел 11 и 12. Выше мы полагали, что эти числа записаны в десятичной системе. Но они могут быть записаны в той же системе, что и данное число, то есть в троичной. Решим задачу в этом предположении:

Условию 3а + b = 5 удовлетворяет единственное троичное число 12.

Проверка:

1 способ.

Итак,

2 способ:

3 способ:

Задания для индивидуальной работы:

1. Разница между квадратом данного двузначного троичного числа, которое заканчивается цифрой 0, и данным числом в десять раз больше основания системы счисления. Найти данное число.

2. Десятичное число 21,4 эквивалентно числу 41,2, записанному в некоторой другой системе счисления. Найти основание этой системы.

3. Разница между числом, полученным в результате замены местами крайних цифр в данном четырехзначном числе, и данным числом на единицу меньше 25-кратного значения основания система счисления. Если же в данном числе поменять местами средние цифры, то разница между данным числом и вновь полученным равна 4-х-кратному значению основания системы счисления. Найти данное число.

4. Разница между данным трехзначным пятеричным числом и числом, полученным в результате замены местами его крайних цифр, на единицу меньше квадрата основания системы счисления. Найти это число, если его средняя цифра равна сумме крайних.

5. Двузначное восьмеричное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найти данное число.

6. Разница между данным трехзначным шестеричным числом и числом, полученным в результате замены местами двух соседних цифр старших разрядов, в пять раз больше основания системы счисления, а разница между данным числом и числом, полученным в результате замены местами двух соседних цифр младших разрядов, на единицу меньше основания системы счисления. Найти данное число.

7. Задумано некоторое двузначное число в пятеричной системе счисления. Если его разделить на 2, то полученное число окажется на три единицы меньше числа, записанного теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке. Определить задуманное число.

8. Двузначное восьмеричное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный куб. Найти данное число.

9. Если на данное троичное трехзначное число разделить число 100, то полученное число совпадет с данным. Найти это число.

10. Если данное двузначное пятеричное число умножить на два, то получится число, записанное теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке. Найти данное число.

11. Результат произведения некоторого двузначного троичного числа на 20 меньше квадрата данного числа на 21 единицу. Найти данное число.

12. Если в данном трехзначном числе, записанном в семеричной системе счисления, выбросить среднюю цифру, то получится число в 11 раз меньшее данного числа. Найти данное число.

13. Если к данному двузначному пятеричному числу дописать справа цифру 0, то получится число на 11 единиц меньшее, чем квадрат данного числа. Найти данное число.

14. Разница между числом, полученным в результате записи его теми же цифрами, что и данное трехзначное девятеричное число, но в обратном порядке, и данным числом равна 88. Найти это число, если его средняя цифра равна сумме крайних.

15. Если между цифрами данного двузначного троичного числа дописать цифру 0, то получится число на 20 единиц большее данного числа. Найти данное число.

16. Квадрат данного двузначного десятеричного числа в четыре раза больше числа, записанного теми же цифрами, что и данное число, но в обратном порядке. Найти данное число.

17. Если к данному двузначному числу, записанному в системе счисления с основанием 4, дописать слева единицу, то получится число на 22 единицы большее числа, записанного теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке. Найти данное число.

18. Если к данному двузначному пятеричному числу справа дописать цифру 1, то получится число, равное квадрату числа, полученного при увеличении на единицу числа, записанного теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке. Найти данное число.

19. Разность квадратов данного двузначного троичного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, в 8 раз больше основания системы счисления. Найти данное число.

20. Сумма квадратов данного двузначного пятеричного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, в 10 раз больше квадрата данного числа. Найти данное число.

21. Данное трехзначное пятеричное число является квадратным и палиндромическим. Найти это число. (Число x называется квадратным, если x = n², , и палиндромическим или перевертышем, если оно равно числу, записанному теми же цифрами, но в обратном порядке.)

22. Данное четырехзначное троичное число в 10 раз больше числа, полученного при вычеркивании в нем цифры младшего разряда. Найти это число, если оно состоит из двух одинаковых частей.

23. Если между цифрами данного двузначного восьмеричного числа записать цифру 1, то получится число, в 7 раз большее данного. Найти данное число.

24. Данное трехзначное девятеричное число с убывающим на единицу слева направо цифрами на три единицы больше квадрата некоторого числа. Найти данное число.

25. Данное трехзначное восьмеричное число в 5 paз больше числа, полученного в результате вычеркивания его средней цифры. Найти данное число.

26. Данное трехзначное палиндромическое число, записанное в системе счисления с основанием 4, на две единицы больше квадрата числа, полученного при вычеркивании цифры старшего разряда. Найти данное число.(См. замечание к задаче 21).

27. Если в данном двузначном восьмеричном числе старшую цифру увеличить на 1, то получится число, являвшееся полным квадратом. Найти это число, если разница между значениями цифр старшего и младшего разрядов равна 4.

28. Известно, что в данном двузначном пятеричном числе значение цифры младшего разряда на две единицы больше значения соседней цифры. Если между ними записать цифру, значение которой равно сумме цифр данного числа, то получится число, на единицу меньшее квадрата некоторого числа. Найти данное число.