- •Глава 8 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •§ 1. Понятие функции нескольких переменных.
- •§ 2. Непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 3. Частные производные функции двух переменных.
- •§ 4. Производная по направлению
- •§ 5. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •§ 7. Локальные экстремумы функции двух переменных.
- •Решение практических задач
- •Примеры для самостоятельного решения.
Глава 8 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
§ 1. Понятие функции нескольких переменных.
Определение 1. Если каждой паре независимых друг от друга переменных х, у из некоторого множества D соответствует определенное значение переменной z, то z называется функцией двух переменных х, у. При этом пишут z = f (x, y) или z = z (x, y).
В прямоугольных декартовых координатах Охуz графиком функции z = f (x, y) обычно служит некоторая поверхность, при этом область D является частью плоскости хОу.
Рис. 1.
Определение 2. Если каждой совокупности значений независимых друг от друга п переменных x, y, …, t из некоторого множества D ставится в соответствие определенное значение переменной U, то U есть функция п переменных x, y, …, t. При этом пишут
U = f (x, y, …, t) или U = U (x, y, …, t).
Замечание. Функция трех и более переменных графического представления не имеет.
Определение 3. Множество D, на котором задана функция многих переменных, называется областью определения или областью существования этой функции.
Определение 4. Область существования D функции U = U (x, y, …, t) называется замкнутой, если она включает в себя свои граничные точки, и – незамкнутой, если функция не определена в граничных точках.
Определение 5. Функция многих переменных называется однозначной, если каждой совокупности значений независимых переменных из области определения соответствует единственное значение функции.
§ 2. Непрерывность функции нескольких переменных
Определение 6. Величины
∆xU = U (x + ∆x, y, …, t) – U (x, y, …, t);
∆yU = U (x, y + ∆y, …, t) – U (x, y, …, t);
… … … … … … … … … … … … … …;
∆tU = U (x, y, …, t + ∆t) – U (x, y, …, t)
называются частными приращениями функции U (x, y, …, t) в точке (x, y, …, t) по x, y, …, t соответственно.
Определение 7. Величина
∆U = U (x + ∆x, y + ∆y, …, t + ∆t) – U (x, y, …, t)
называется полным приращением функции U (x, y, …, t) в точке (x, y, …, t).
Непрерывность функции многих переменных
Определение 8. В случае функции двух переменных х, у δ – окрестностью точки М0 (х0, у0) называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса δ с центром в точке М0.
В случае функции трех переменных х, у, z δ – окрестностью точки М0 (х0, у0, z0) называется совокупность всех точек, лежащих внутри шара радиуса δ с центром в точке М0.
В случае функции п переменных х, у, …, t δ – окрестностью точки М0 (х0, у0, …, t0) называется совокупность точек лежащих внутри п – мерного шара радиуса δ с центром в точке М0. δ – окрестность точки М0 обозначается δ (М0)
Определение 9. Число А называется пределом функции U = U (x, y, …, t) в точке М0 (х0, у0, …, t0), если
ε > 0 M (x, y, …, t) ∈ δ (М0) |U (x, y, …, t) – A| < ε.
При этом пишут
.
Определение 10. Функция U (x, y, …, t) называется непрерывной в точке (х0, у0, …, t0), если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов ∆х, ∆у, …, ∆t соответствует бесконечно малое приращение функции ∆U, т. е.
Иначе условие непрерывности функции U можно представить следующим образом
или
Определение 11. Точка (х0, у0, …, t0), в которой не выполняется условие непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Определение 12. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.
Примеры точек разрыва для функции двух переменных.
1. – непрерывна всюду кроме точки (0; 0), которая является точкой разрыва. При х → 0 и у → 0 функция z → . Геометрически это означает, что в точке (0; 0) поверхность имеет бесконечный шпиль (рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3.
2. Точки разрыва функции двух переменных могут образовывать целые линии. Для функции точками разрыва являются все точки, лежащие на биссектрисах координатных углов плоскости Оху, т. е. точки, в которых у = х или у = – х (рис. 3).