- •Основы векторного анализа
- •Криволинейные ортогональные системы координат
- •Запись операторов векторного анализа в обобщённой криволинейной системе координат.
- •Основные величины макроскопической электродинамики, напряжённость поля.
- •Закон кулона
- •Вектора индукции поля
- •Силовые линии поля
- •Уравнение обобщающее закон кулона теорема Гаусса
- •Обобщение закона электромагнитной индукции
- •Эсп в проводниках и диэлектриках
- •Вычисление характеристик эп по заданным зарядам
- •Дифференциальные уравнения для потенциала
- •Метод зеркальных изображений
- •Метод решения прямой задачи электростатики
- •Граничные условия на границе раздела двух диэлектриков Определение объёмной плотности свободного заряда.
- •Постоянный электрический ток
- •Сторонние силы
- •Закон Ома
- •Работа и мощность тока
- •Обобщённый закон Ома (закон Ома для неоднородного участка цепи)
- •Правило Кирхгофа
- •Магнитное поле
- •Магнитное поле кольцевого проводника
- •Закон Ампера
- •Магнитное поле движущегося заряда
- •Сила Лоренца
- •Магнитное поле соленоида
- •Явления связанные с законом электромагнитной индукции
- •Токи Фуко
- •Индуктивность
- •Явление самоиндукции
- •Явление взаимоиндукции
- •Расчёт коэффициентов взаимоиндукции тороидального трансформатора.
- •Принцип действия электрического трансформатора
- •Переходные процессы при замыкании и размыкании lr цепи
- •Процессы при отключении rl цепи
- •Энергия электрического и магнитного полей.
- •Энергия магнитного поля
- •Эффект Холла
- •Магнитные свойства вещества
- •Явление диа и пара магнетизма
- •Мп в веществе
- •Ферромагнетики
- •Уравнение Максвелла как обобщение электричества и магнетизма.
- •Колебания и волны
- •Механические гармонические колебания
- •Гармонический осциллятор
- •Колебательный контур
- •Решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний
- •Сложение гармонических колебаний одного направления
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Вынужденные колебания
- •Ачх вынужденных колебаний
- •Переменный эт
- •Цепь содержащая r l c элементы
- •Явление резонанса напряжений
- •Явление резонанса токов
- •Мощность в цепи переменного тока.
Вынужденные колебания
Как было показано выше все реальные колебания являются затухающими. То есть если в гармоническом осцилляторе была накоплена энергия и за счёт данной накопленной энергии происходит колебание, то с течением времени данное колебание затухает и его амплитуда уменьшается по экспоненте. Для поддержания колебательного процесса в некоторой колебательной системе необходимо на данную колебательную систему необходимо воздействовать внешней периодически меняющейся силой. Рассмотрим процесс вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний на примере пружинного маятника совершающего колебания в среде с потерями. Предполагаем что на пружинный маятник будет действовать как упругая сила так и сила сопротивления, которая пропорциональна скорости.
Данное дифференциальное уравнение представляет собой запись второго закона Ньютона в проекции на ось х.
- жёсткость пружины;
- коэффициент сопротивления;
Для поддержания колебательного процесса. На данный осциллятор необходимо воздействовать с помощью внешней периодически меняющейся силы.
Можно перейти к дифференциальному уравнению
Если ввести следующее обозначение:
- собственная частота свободного колебания;
- коэффициент затухания.
То последнее выражение преобразовывается к виду:
Данное уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний пружинного маятника.
Вынужденные колебания можно получить в колебательном контуре, если включить в колебательную систему источник переменного напряжения изменяющегося по гармоническому закону.
Исходя из второго правила Кирхгофа для величины заряда на ёмкости, можно получить следующее дифференциальное уравнение:
(*)
Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, неоднородным со специальной правой частью. Общее решение данного уравнения можно представить в виде двух слагаемых.
- решение однородного уравнения;
- частное решение не однородного уравнения;
Общее решение однородного уравнения было найдено выше оно описывает не затухающие однородные колебания.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется методом подстановки Эйлера. Согласно данному методу: в исходном дифференциальном уравнении правая часть заменяется комплексным числом реальная часть которого равна правой части исходного дифференциального уравнения. Решая дифференциальное уравнение находим его решение в виде комплексной функции и взяв реальную часть у полученного решения определяем последнюю как решение исходного дифференциального уравнения (*).
Данная методика основана на том, что все операции над комплексными числами выполняются отдельно над реальной и отдельно над мнимой частью. Следовательно уравнение (*) запишем:
(1)
Решение данного уравнения будем искать в следующем виде:
Подставляем в уравнение (1) получаем:
(2)
Данное уравнение имеет решение в том случае если , где - частота внешнего напряжения поданного на данный колебательный контур.
С учётом последнего (2) переписываем:
Отсюда
Таким образом решение получили в виде комплексного числа. Выделим реальную часть. Для этого числитель и знаменатель умножим на число комплексно сопряжённое с выражением для знаменателя.
Любое комплексное число можно представить в следующем виде:
- амплитуда;
- фаза;
Подставляем реальную и мнимую часть в выражение для и
Таким образом решение исходного уравнения (*) может быть записано следующим образом:
Полученное частное решение неоднородного дифференциального уравнения позволяет построить график вынужденных электрических колебаний.
На данном графике можно выделить время установления вынужденных колебаний. В течении этого времени устанавливается амплитуда вынужденных колебаний. Амплитуда достигает значения равного А.
В течении этого времени установления доминирующую роль играют свободные затухающие колебания которые описываются функцией являющейся общим решением однородного дифференциального уравнения. Через время установления доминирующую роль начинают играть вынужденные колебания с амплитудой А. Вынужденные колебания являются квази периодическими. Строго говоря периодическими их назвать нельзя.
Как видно из выражения описывающего частное решение неоднородного дифференциального уравнения: амплитуда вынужденных колебаний является функцией зависящей от частоты. Используя введённое ранее соотношение:
Выражение фигурирующее под знаком радикала получило название полного сопротивления электрической цепи или эмпиданса.
Эмпиданс состоит из активной части (R) и реактивной части, которая состоит из индуктивного сопротивление и ёмкостного сопротивления. Индуктивное сопротивление - это частотно зависимое сопротивление и как видно прямо пропорционально частоте. Ёмкостное сопротивление так же является частотно зависимым сопротивлением и обратно пропорционально частоте .
Фазу вынужденных колебаний так же можно выразить через параметры электрической цепи.
Получив выражение для величины заряда можно определить ток протекающий в данной электрической цепи.
- амплитуда тока;
Как следует из выражения для тока. Ток в данной электрической цепи опережает на напряжение на емкости (заряд на ёмкости).