Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой

Пусть даны две прямые l₁ и l₂ на плоскости:

.

Чтобы определить их взаимное расположение, достаточно решить систему уравнений:

(17)

Если эта система имеет единственное решение (х₀, у₀), то прямые l₁ и l₂, пересекаются в точке М₀(х₀, у₀). Если система (17) не имеет решений, то прямые l₁ и l₂ не пересекаются, следовательно, l₁ || l₂. Если система (17) имеет бесконечное множество решений, то l₁ и l₂ совпадают.

Однако решить вопрос о взаимном расположении l₁ и l₂ можно и не решая системы (17). Действительно, из общего уравнения прямой l₁, находим, что ее нормальный вектор имеет координаты А₁ и В₁ , т.е. = {А₁, В₁}, а прямая l₂ имеет нормальный вектор = {А₂, В₂}. Если векторы , коллинеарны, то прямые l₁ и l₂ либо параллельны, либо совпадают. Если , неколлинеарны, то прямые пересекаются. Зная, что коллинеарные векторы (и только они) имеют пропорциональные координаты, получаем:

если , то прямые l₁ и l₂ пересекаются;

если то прямые l₁ и l₂ параллельны;

если то прямые l₁ и l₂ совпадают.

Используя нормальные векторы , можно также найти угол между прямыми, так как угол между нормальными векторами равен одному из углов между прямыми l₁ и l₂ (рис. 12).

И з определения скалярного произведения векторов получаем: , поэтому .

Пусть на плоскости заданы прямая и точка М₀(х₀, у₀). Найдем расстояние d от точки М₀(х₀, у₀) до прямой l (рис. 13). Пусть М₁(х₁, у₁) – точка пересечения прямой l и прямой, проходящей через точку М₀ перпендикулярно l. Так как М₁ лежит на l, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, таким образом, имеем тождество:

. (18)

Рассмотрим вектор . Этот вектор коллинеарен нормальному вектору = {А₁, В₁} прямой l и , поэтому косинус угла между векторами и равен либо 1, либо -1. Следовательно, , откуда

.

Учитывая тождество (18) получаем:

. (19)

7