3.4 Начальные сведения о фракталах и хаосе

В синергетике было впервые обосновано свойство фрактальности объектов мира. Термин «фрактал» изначально относился к чистой математике и был предложен Б. Мандельбротом для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Одно из определений Фрактала, данное Мандельбротом, звучит следующим образом: «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Математический аппарат, построенный на основе представлений о фракталах и фрактальных множествах, позволяет объяснить или даже предсказать экспериментально наблюдаемые факты и явления в различных областях науки (космология, теория турбулентности, химическая кинетика, физика полимеров). Возможности такого инструмента моделирования сложных систем используются для анализа процессов в социально-экономической сфере, в частности, в исследованиях поведения различных рынков.

Фракталами называют такие объекты, которые обладают свойством самоподобия, или, как еще говорят, масштабной инвариантностью. Это означает, что малый фрагмент структуры такого объекта подобен другому, более крупному фрагменту или даже структуре в целом, «каков человек, таков и социум», т. е. часть сохраняет свойства целого. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод, что решение всех социально-экономических проблем находится в самом человеке (в его мировидении, идеалах, нормах поведения, традициях и т. д.).

Фрактальными являются процессы с обратной связью, в которых выходные характеристики функционально связаны с входными, причем эта связь является нелинейной. Такие процессы наблюдаются в системах совершенно различной природы, функционирующих на принципах отношений «ресурс-потребитель».

Фрактальная природа социума обусловлена дискретным распределением в пространстве, как генераторов новых идей, как и их проводников и потребителей, как источников сырья, предприятий по его переработке, так и рынков реализации продукции. Взаимодействие этих дискретно расположенных ингредиентов «реакции», тем не менее, возможно и приводит к фрактальной пространственной картине процесса, временной срез которого демонстрирует нам сложный квазипериодический характер.

Теория фракталов — наиболее адекватная системной природе социальных и экономических процессов, протекающих в условиях нелинейной динамики множества факторов внешней и внутренней среды.

Принятие гипотезы о фрактальной природе общества сразу же накладывает определенные ограничения на методы его анализа. Если мы хотим учитывать пространственную составляющую социальных процессов, то метод их математического анализа должен коренным образом измениться. В силу этого социум можно рассматривать как протяженный пространственно-временной фрактал, где основным носителем активности («горючим материалом» среды) является сознание человека.

Из всего, что есть в современных методах анализа, фрактал как математический объект наиболее хорошо приспособлен для отражения явлений, связанных с развитием и самоорганизацией. Поэтому при использовании фрактальных представлений можно ожидать продвижения в создании адекватных математических моделей социально-экономических систем. В самых общих чертах можно прогнозировать создание таких моделей относительно различных аспектов и явлений социально-экономической системы.

Фрактальность - это мера неправильности, фрактал - основная структура как для описания рынка, так и для описания поведения отдельных трейдеров.

Фрактальность и циклы - две стороны одной «медали». Пространственное отображение процессов имеет черты фрактальности, временное отображение динамики фракталов воспринимается как циклы. Или иначе - при реализации в пространстве циклы имеют фрактальный вид, а фракталы во времени — волновой.

Учитывая данные разных наук, можно предполагать, что фрактальность в своих проявлениях «неравномерна» и не беспредельна - в процессе фрактального роста структур должны присутствовать критические уровни. В свою очередь, в циклических проявлениях должны быть обнаружены критические периоды, на циклических реализациях сказываются конкретные условия, поэтому характер, длина волн и т. д. будут весьма изменчивы. Реализация феноменов фрактальности и цикличности осуществляется через конкретные материальные носители во взаимодействии с конкретной средой. Поэтому случаев фиксации «идеальных» фракталов и циклов всегда будет немного. Во всех случаях сказываются факторы предыстории (системной памяти разного уровня), эффекты положения (соседства), возраста и т. п. В ряде случаев особое значение будет иметь характерное время реагирования объектов на изменения факторов среды.

Для того чтобы представить все многообразие фракталов, удобно прибегнуть к их общепринятой классификации:

1. Геометрические фракталы.

2. Алгебраические фракталы.

3. Стохастические фракталы.

1.Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двумерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов — триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 3.1) - это нулевое поколение кривой Коха. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рисунке через п = 1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха.

Рис. 3.1. Построение триодной кривой Коха

В 1-ом поколении — это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия — каждое звено заменяется уменьшенным образующим элементом. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. Нa рис. 3.1 представлены пять поколений кривой. При п, стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фрактальным объектом.

Для получения другого фрактального объема нужно изменить правила построения (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Построение «дракона» Харпера — Хейтуэя