3. Скалярное полипроизведение

Попробуем, сохранив в качестве основы все аксиомы m мерного аффинного пространства, добавить к ним следующие:

а) каждым n векторам А,В,C,…,N поставим в соответствие определенное действительное число, обозначаемое

k=(A,B,C,…,N),

которое будем называть скалярным полипроизведением этих векторов;

б) скалярное полипроизведение должно быть коммутативно по отношению к перестановкам любых векторов, т.е.

(A,B,C,…,N)=(B,A,C,…,N) =(C,B,A,…,N) =…=(N,…,C,B,A);

в) скалярное полипроизведение должно быть дистрибутивно относительно сложения любых векторов, т. е.

(A,B,C+D,…,N)=(A,B,C,…,N)+(A,B,D,…,N);

г) действительный множитель при любом из векторов может выноситься за знак скалярного полипроизведения, т. е.

(kA,B,C,…,N)=k(A,B,C,…,N).

Как видим данные аксиомы, лишь немного отличаются от соответствующих аксиом скалярного произведения. Кроме того, все они могут быть объединены в едином понятии симметрической полилинейной формы, поэтому пространства, удовлетворяющие подобным системам, будем называть полилинейными. Отметим так же, что рассмотренные выше евклидовы и псевдоевклидовы пространства в соответствии со своими определениями являются частными случаями полилинейных, то есть, удовлетворяют приведенной выше системе аксиом при n=2, что позволяет именовать их билинейными.

Скалярное полипроизведение от одного и того же вектора, по аналогии с квадратичной формой билинейных пространств, будем называть фундаментальной метрической формой полилинейного пространства, или просто n-арной полиформой вектора A.

Аффинное отображение полилинейного пространства, переводящее вектор А в А', назовем конгруэнтным, если оно оставляет инвариантной фундаментальную метрическую форму:

(А,А,…,А)=(А',А',…,А').    (1)

Соответственно, две фигуры, которые могут быть переведены одна в другую конгруэнтным отображением, будем считать конгруэнтными. Именно этим в нашем аксиоматическом построении полилинейного пространства будет определяться понятие конгруэнции, а вслед за ним и другие метрические понятия.

Если имеется некоторая область операций, в которой выполняются аксиомы аффинного пространства, то мы можем выбрать в нем любую симметрическую полилинейную форму, а, следовательно, и однозначно с ней связанную n-арную полиформу, ’’назначить’’ последнюю фундаментальной метрической формой и на ее основе определить понятие конгруэнции так, как это было сделано выше. Тогда, с помощью этой формы в аффинное пространство оказывается введенной некоторая метрика и становится справедливой метрическая геометрия во всей своей полноте. Это построение не связано ни с определенной размерностью пространства, ни с конкретной размерностью фундаментальной формы, ни с видом последней.

Из свойств симметрии и линейности формы (А,В,…,N) следует, что для конгруэнтного отображения полилинейного пространства справедливы более общие, чем (1), соотношения:

(А,А,…,A,B)=(A',A',…,A',B'),

(A,A,…,B,B)=(A',A',…,B',B'),

……….

(A,B,…,M,N)=(A',B',…,M',N').

То есть конгруэнтные отображения полилинейного пространства оставляют инвариантными все полиформы.

О двух векторах полилинейного пространства А и А' будем говорить, что они конгруэнтны, если соответствующие им n-арные полиформы имеют равные, но отличные от нуля значения:

(A,A,…,A,A)=(A',A',…,A',A')≠ 0.

В соответствии с данным определением мы могли бы ввести n-арную полиформу, как численный параметр вектора А. Но вместо этого, как и в билинейных пространствах, стремясь к аддитивности и однозначности свойств, будем использовать положительный корень n-й степени из абсолютного значения (A,A,…,A), называя его длиной вектора А по определению, то есть:

|A|=|(A,A,…,A)|^1/n.

Тогда длина суммы двух сонаправленных векторов равняется сумме их длин. Следует отметить, что это далеко не единственный способ введения понятия длины с аддитивными свойствами, однако именно при таком подходе длина определена для максимального количества направлений исходного аффинного пространства.

В этом месте становится понятным, к какому типу пространств следует отнести те, которые мы пытаемся строить с помощью перечисленных выше аксиом полискалярного произведения. По сути, это специальный подкласс так называемых финслеровых пространств, индикатриса которых не зависит от точки, а её уравнение совпадает с выражением, связывающим вектора единичной длины с их компонентами. Такие пространства можно называть полилинейными финслеровыми пространствами. Однако то, что в данном случае пространство строится не на основе достаточно произвольной финслеровой метрической функции, а отталкиваясь от более четкого понятия полискалярного произведения, дает нам некоторые преимущества, часть из которых мы ниже попробуем рассмотреть.

Если А и В, а также А' и В' - две пары векторов, то фигура, образованная двумя первыми векторами, будет тогда конгруэнтна фигуре, составленной из двух последних, когда найдется конгруэнтное преобразование, переводящее одну фигуру в другую. Из рассмотренных выше свойств полилинейных пространств, следует, что такое преобразование может найтись только в том случае, если:

(А,А,…,А)=(А',А',…,А'),

(А,А,…,В)=(А',А',…,В'),

………       (2)

(А,В,…,B)=(А',В',…,В'),

(В,В,…,В)=(В',В',…,В').

Отсюда, в частности, вытекает, что в билинейных пространствах конгруэнтность фигур из двух векторов связана с равенствами трех форм:

(А,А)=(А',А'), (А,В)=(А',В'), (В,В)=(В',В'),    (3)

на том основании, что качественно иных метрических форм из двух векторов просто невозможно построить. Равенства (3) эквивалентны аксиоме конгруэнтности треугольников из так называемой системы аксиом Гильберта. Согласно ей два треугольника в евклидовом пространстве конгруэнтны, если равны длины соответствующих сторон и углы между ними. Аналогичные аксиомы можно сформулировать и для псевдоевклидовых пространств. Но из определения (2) вытекает, что для полилинейного пространства с размерностью формы выше двух конгруэнтность фигур из двух векторов определяется уже не тремя, а большим количеством условий. Так в пространствах с тетралинейной формой (А,В,С), для конгруэнтности соответствующих фигур должны быть равны четыре формы:

(А,А,А)=(А',А',А'), (А,А,В)=(А',А',В'), (А,В,В)=(А',В',В'), (В,В,В)=(В',В',В').

Этот кажущийся парадокс имеет довольно простое объяснение. Действительно, говоря о пространственной фигуре, построенной на основе двух векторов, обычно ее представляют, как элемент плоскости, содержащейся между ребрами, которыми и являются задающие вектора. Однако, это оправданно только в пространствах с билинейной формой. В пространствах с произвольной полилинейной формой с двумя векторами естественным образом связаны не плоскости, а особого вида конусообразные поверхности, конфигурация которых зависит от метрических свойств окружающего пространства. Естественно, что количество параметров определяющих конгруэнтность неплоских фигур, ограниченных по бокам парами векторов, должно быть больше трех, что, в частности, и наблюдается в тетралинейном пространстве, где соответствующих величин четыре.

Полилинейные пространства допускают возможность введения аналогов понятию угла билинейных пространств. При этом следует обратить внимание, что в билинейных пространствах угол, как параметр, объединял в себе сразу два свойства – он служил характеристикой различия (разности) двух направлений и одновременно являлся параметром конгруэнтного преобразования, называемого вращением. В общем случае полилинейного пространства каждое из этих свойств, по-видимому, следует характеризовать самостоятельной величиной. Так в основу получения численного параметра, характеризующего различие направлений векторов A и B, естественно положить величину n-арной полиформы их разности, а именно:

(A-B,A-B,…,A-B)=(A,A,…,A)±C₁^n-1(A,A,…,A,A)±…±C_n-1¹(A,A,…,A)+(-1)ⁿ(B,B,…,B),

где C_i^j - биноминальные коэффициенты. Откуда скалярная форма от двух единичных векторов a и b:

S(a,b)=±C₁^n-1(A,A,…,A,B)/(|A|^n-1|B|)±…±C_n-1¹(A,B,…,B)/(|A||B|^n-1) (4)

или некоторая функция от неё, как раз и может быть принята в качестве численного параметра, определяющего искомую характеристику. Заметим, что если полилинейное пространство билинейно, выражение (4) с точностью до постоянного множителя совпадает с определением обычного скалярного произведения двух единичных векторов. По-видимому, величину (4) можно так же называть скалярным произведением двух векторов, но только полилинейного пространства.

Помимо величины, задаваемой выражением (4), в некоторых полилинейных пространствах, в которых имеются непрерывные конгруэнтные преобразования типа вращений, представляется уместным ввести ещё одну “углоподобную” характеристику. Её величину будем связывать с длиной дуги на единичной сфере, очерчиваемой некоторым лучом при непрерывном однопараметрическом вращении. Так обобщаемое понятие наследует свойство обычного угла являться аддитивным параметром, что вытекает из аддитивности длин. Однако, в отличие от билинейных пространств, такой угол, как и форма (4), перестает быть функцией одного параметра и зависит уже от (n-1) величин, где n - размерность фундаментальной метрической формы.

В полилинейных пространствах существуют пары векторов с определенными особенностями взаимного расположения, наподобие того, как среди всех векторов билинейных пространств, выделяются ортогональные. Условимся вектор В называть однократно трансверсальным вектору А, если (А,А,…,А,В)=0, двукратно трансверсальным, если (А,А,…,А,B,В)=0 и так далее до (n-1) кратности. Но в полиформах могут участвовать не только пары, но и тройки, четверки и т. д., вплоть до n различных векторов. Формы с участием нескольких векторов, в отличие от n-арной полиформы, в образовании которой фигурирует только один вектор, условимся называть смешанными. Среди всех векторов некоторого полилинейного пространства наиболее интересны такие m векторов, для которых одновременно равны нулю максимальное количество смешанных полиформ. В базисе, состоящем из таких векторов, фундаментальная метрическая форма этого пространства принимает максимально простой вид, который по аналогии с билинейными пространствами можно называть каноническим.

В частности, если в некотором m-мерном полилинейном пространстве с n-арной метрической формой специального вида найдется такой базис, все вектора которого при единичной длине образуют смешанные полиформы одновременно равные нулю, представленная в этом базисе фундаментальная форма будет иметь весьма компактный вид:

(A,A,…,A)=±a₁ⁿ ±a₂ⁿ ±…± a_mⁿ=±1.

Однако подобных выделенных n-арных форм, среди того разнообразия, что открывается на пути использования полискалярного произведения, относительно немного и вряд ли они играют доминирующую роль.

Другое дело такие полилинейные пространства, которым соответствуют алгебры или ещё лучше – коммутативно-ассоциативные алгебры. Если отмечавшаяся выше исключительность двумерных пространств с билинейной формой не случайна, вполне вероятно ожидать подобных приятных сюрпризов и у ряда других полилинейных пространств, для которых n=m, поэтому зарезервируем за ними специальный термин полипространств. Во всяком случае, только среди последних существуют пространства с ассоциативно-коммутативными алгебрами, что, похоже, влечет за собой возможность введения в этих пространствах понятий, обобщающих понятия аналитических функций и конформных отображений. Причем такие обобщения качественно оказываются более богатыми, чем это имело место для их аналогов в билинейных пространствах с размерностью три и выше. То, что такие обобщения возможны, косвенно следует из работ В.В. Кассандрова [12,13]. В его работах рассматривается восьмимерное пространство бикватернионов, которое в свете изложенной выше аксиоматики обладает n-арной метрической формой четвертого порядка и, значит, не подпадают под теорему Лиувилля. Будем надеяться, что свойство хотя бы части полипространств обладать богатой группой конформных отображений окажется перспективным для приложений не только в геометрии, но и в физике.