§ 3. Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:

I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. III. Неравномерное распределение давления вызывает дви­жение газа.

Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р₀ и плотностью . Давление Р зависит от плот­ности среды: Р=f(), и в частности равновесное давление Р₀=f(₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар=10⁵н/м²). Давление в одну стандартную атмосферу приб­лизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

I=20log₁₀(P/P_отн) дб, (47.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р_отн=2•10^-10 бар.

Звуковое давление Р=10³ Р_отн=2•10^-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление ме­няется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может пре­вышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэто­му, написав для звуковой волны

Р=Р₀+Р_u,  = ₀+_u, (47.2)

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности _u очень мало по сравнению с ₀. Тогда

P₀+Р_u=f(₀+_u)=f(₀)+ _uf'(₀), (47.3)

где P₀ = f(₀) и f'(₀) — производная от f(), взятая при значении  =₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что _u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плот­ности _u; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Р_u=_u, где =f'(₀)=(dP/d)₀. (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержа­ние свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину (х,t), так что его новое положение есть x+(x,t), как показано на фиг. 47.3.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть  (х,t), а в точке х+х равно (x+x,t).

Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть x, а окончательный объем равен x+(x+x,t)-(x,t).

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+х, и его смещенное положение есть х+х+(х+х,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рас­сматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале x, есть ₀x, где ₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, сме­щенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+ (x,t) и x+х+ (х+х,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале x до прихода волны. Если через  обозначить новую плотность, то

₀x= [x+x+ (x+x,t)-x- (x,t)]. (47.5)

Поскольку x мало, можно написать  (x+x,t)- (x,t)=(д/дx)x. Здесь уже появляется частная производная, потому что  зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

₀x = ((д/дx) x +x), (47.6)

или

₀=(₀+_u)д/дx+₀+_u. (47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что _u мало,  мало и д/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

_u=-₀(д/дx)- _u(д/дx), (47.8)

можно пренебречь _u(д/дх) по сравнению с ₀(д/дх). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(I) _u=-₀д/дx. (47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если сме­щение  растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотноше­ние между силой и давлением, можно получить уравнение дви­жения. Возьмем объем воздуха толщиной x и с единичной пло­щадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть ₀x, а ускорение воздуха есть д²/дt², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ₀x(д²/дt²). (Если x; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единич­ную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна ₀x(д²х/дt²). В точке х мы имеем силу Р(х,t), дей­ствующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+x; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ x, t) (фиг. 47.4):

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (дР/дх)х.

Р(х, t)-P(x+x, t)=-(дP/дx) x=(дP_u/дx) x. (47.10)

Мы учли, что x; мало и что только избыточное давление Р_и меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

(III) ₀=д²/дt²=-дP_u/дx. (47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р_u в (47.11) с помощью (47.4):

₀д²/дt²-д_u/дx (47.12)

а затем исключить _u с помощью (I). Тогда ₀ сократится и у нас останется

д2/дt²=xд²/дx². (47.13)

Обозначим с²_s =x, тогда можно написать

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.