- •§ 1. Состояния электрона в одномерной решетке
- •§ 2. Состояния определенной энергии
- •§ 3. Состояния, зависящие от времени
- •§ 4. Электрон в трехмерной решетке
- •§ 5. Другие состояния в решетке
- •§ 6. Рассеяние па нерегулярностях решетки
- •§ 7. Захват нерегулярностями решетки
- •§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния
- •§ 2. Примесные полупроводники
- •§ 3. Эффект Холла
- •§ 4. Переходы между полупроводниками
- •§ 5. Выпрямление на полупроводниковом переходе
- •§ 6. Транзистор
- •§ 2. Две спиновые волны
- •§ 3. Независимые частицы
- •§ 4. Молекула бензола
- •§ 5. Еще немного органической химии
- •§ 6. Другие применения приближения
- •§ 2. Волновая функция
- •§ 3. Состояния с определенным импульсом
- •§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
- •§ 5. Уравнение Шредингера
- •§ 6. Квантованные уровни энергии
- •§ 2. Симметрия и ее сохранение
- •§ 3. Законы сохранения
- •§ 4. Поляризованный свет
- •§ 5. Распад 0
- •§ 6. Сводка матриц поворота
- •Глава 16
- •§ 2. Рассеяние света
- •§ 3. Аннигиляция позитрония
- •§ 4. Матрица поворота для произвольного спина
- •§ 5. Измерение ядерного спина
- •§ 6. Сложение моментов количества движения
- •Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
- •Атом водорода
- •§ 2. Сферически симметричные решения
- •§ 3. Состояния с угловой зависимостью
- •§ 4. Общее решение для водорода
- •§ 5. Волновые функции водорода
- •§ 6. Периодическая таблица
- •Глава 18 операторы
- •§ 2. Средние энергии
- •§ 3. Средняя энергия атома
- •§ 4. Оператор места
- •§ 5. Оператор импульса
- •§ 6. Момент количества движения
- •§ 7. Изменение средних со временем
- •§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
- •§ 3. Два рода импульсов
- •§ 4. Смысл волновой функции
- •§ 5. Сверхпроводимость
- •§ 6. Явление Мейсснера
- •§ 7. Квантование потока
- •§ 8. Динамика сверхпроводимости
- •§ 9. Переходы Джозефсона
§ 6. Квантованные уровни энергии
В одной из последующих глав мы на каком-нибудь примере более подробно разберем решение уравнения Шредингера. А сейчас мы хотим показать вам, как получается одно из самых замечательных следствий из уравнения Шредингера — тот поразительный факт, что из дифференциального уравнения, в которое входят только непрерывные функции непрерывных пространственных переменных, могут возникнуть квантовые эффекты, как, например, дискретные уровни энергии в атоме. Нам надо понять следующий существенный факт: как это может быть, что энергия электрона, попавшего в потенциальный «колодец» и вынужденного оставаться в определенной области пространства, с необходимостью принимает значения только из точно определенной дискретной их совокупности.
Пусть речь идет об одномерном случае движения электрона, когда потенциальная энергия меняется по х так, как показано па фиг. 14.3.
Фиг. 14.3. Потенциальная яма для частицы, движущейся вдоль оси х.
Предположим, что потенциал является статическим: со временем он не меняется. Как уже мы делали много раз, поищем решения, отвечающие состояниям определенной энергии, т. е. определенной частоты. Испытаем такую форму
решения:
Если мы эту функцию подставим в уравнение Шредингера, то увидим, что функция а(х) обязана подчиняться следующему дифференциальному уравнению:
Это уравнение говорит, что, каково бы ни было х, вторая производная а(х) по х пропорциональна а(х) с коэффициентом пропорциональности V-Е. Вторая производная от а (х) это скорость изменения наклона а (х). Если потенциал V больше энергии Е частицы, то скорость изменения наклона а (х) будет иметь тот же знак, что и а (х). Это значит, что кривая а(х) повернута выпуклостью к оси х, т. е. более или менее следует ходу положительной или отрицательной экспоненты е±x. Это означает, что на участке слева от х1 (см. фиг. 14.3), где V больше предполагаемой энергии Е, функция а (х) будет напоминать одну из кривых на фиг. 14.4, а.
Фиг. 14.4. Возможные формы волновой функции а(х) при V>E и при V<E.
Если же потенциальная функция V меньше энергии Е, то знак второй производной а (х) по х противоположен знаку самой а(х) и кривая a(х) будет всегда вогнута к оси х, подобно одной из линий на фиг. 14.4, б. Решение на этом участке приобретет форму кусочков синусоид.
Теперь поглядим, можем ли мы графически построить решение для функции а(х), отвечающей частице с энергией Еа при потенциале V, показанном на фиг. 14.5. Раз нас интересует такое положение, когда частица заключена внутри потенциальной ямы, то мы будем искать решения, при которых амплитуда волны принимает после удаления х за пределы потенциальной ямы очень малые значения. Мы очень легко можем представить себе кривую наподобие изображенной на фиг. 14.5, стремящуюся к нулю при больших отрицательных х и плавно поднимающуюся при приближении к х1. Поскольку V в точке х1 равно Еа, то кривизна функции в этой точке равна нулю. Между х1 и х2 величина V-Еа всегда отрицательна, так что функция а(х) все время вогнута к оси, а кривизна тем больше, чем больше разность между Еа и V. Если продолжить кривую в область между x1 и x2, ей придется идти примерно так, как на фиг. 14.5.
Фиг. 14.5. Волновая функция для энергии Еа, стремящаяся к нулю при удалении х в отрицательную сторону.
Теперь протянем эту кривую правее х2. Там она искривляется прочь от оси и движется к большим положительным значениям (фиг. 14.6).
Фиг. 14.6. Волновая функция а(х) (см. фиг. 14.5), продолженная за x2.
Для выбранной нами энергии Еа решение a(х) с ростом х растет все сильнее и сильнее. Действительно, ведь и кривизна решения а(х) тоже возрастает (если потенциал остается почти постоянным). Амплитуда круто вырастает до гигантских масштабов. Что это означает? Просто что частица не «связана» потенциальной ямой. Обнаружить ее вне ямы бесконечно более вероятно, чем внутри. Для изготовленного нами решения гораздо более вероятно встретить электрон в x=+, чем где-либо еще. Найти решение для связанной частицы нам не удалось.
Что ж, попробуем взять другую энергию, скажем, чуточку повыше чем Еа, например Еb (фиг. 14.7).
фиг. 14.7. Волновая функция а(х) для энергии eb, большей чем Еа.
Если слева условия останутся теми же, то мы придем к решению, показанному на нижней части фиг. 14.7. На первых порах оно выглядит получше, нов конце концов оказывается таким же плохим, как и решение для Еа, только теперь при возрастании x величина а(х) становится все более и более отрицательной.
Может быть, в этом разгадка! Раз небольшое изменение энергии от Еа к Еb приводит к тому, что кривая перебрасывается с одной стороны оси на другую, то, может быть, существует энергия, лежащая между Еа и Еb, при которой кривая для больших х будет стремиться к нулю. Так оно и есть, и мы на фиг. 14.8 изобразили, как может выглядеть решение.
Фиг. 14.8. Волновая функция для анергии Еc между Еа и Еb.
Вам нужно понимать, что решение, показанное на рисунке, это весьма частное решение. Если бы мы даже чуть-чуть подняли или снизили энергию, то функция перешла бы в другие кривые, похожие на одну из штриховых кривых фиг. 14.8, и опять для связанной частицы не получилось бы надлежащих условий. Мы пришли к выводу, что если частица должна находиться в потенциальной яме, то это может с ней случиться только при вполне определенной энергии.
Значит ли это, что у частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме, может быть только одна энергия? Отнюдь. Могут быть и другие, но не слишком близко к Ес. Обратите внимание, что волновая функция на фиг. 14.8 четыре раза пересекает ось на участке х1х2. Если бы мы выбрали энергию значительно ниже Ес, то могло бы получиться решение, которое бы пересекло ось только трижды, только дважды, только единожды или ни разу. Возможные
решения намечены на фиг. 14.9.
Фиг. 14.9. Функция а(х) для пяти связанных состояний с наинизшими энергиями.
(Могут быть и решения, отвечающие более высоким энергиям.) Вывод состоит в том, что если частица загнана в потенциальную яму, то ее энергия принимает только определенные специальные значения, образующие дискретный энергетический спектр. Вы понимаете теперь, как способно дифференциальное уравнение описать этот основной факт квантовой физики.
Следует заметить только одно. Если энергия Е выше верха потенциальной ямы, то дискретных решений уже не будет, и разрешены все мыслимые энергии. Такие решения отвечают рассеянию свободных частиц на потенциальной яме. Пример таких решений мы видели, когда рассматривали влияние атомов примесей в кристалле.
* Помните, еще раньше мы условились, что
* Был использован тот факт, что см. вып. 1
* О распределениях вероятностей шла речь в гл. 6, § 4 (вып. 1).
* Представьте себе, что по мере сближения точек хn амплитуда А прыжков из хn 1 в хn возрастает.
Главa 15
СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 1. Симметрия
§ 2. Симметрия и ее сохранение
§ 3. Законы сохранения
§ 4. Поляризованный свет
§ 5. Распад °
§ 6. Сводка матриц поворота
Повторить: гл. 52 (вып. 4} «Симметрия законов физики»
§ 1. Симметрия
В классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике это то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других законов. (Можно, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но это удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции. Хотя идеи эти мы будем применять главным образом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны — в квантовой механике — с симметриями системы.
Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером служат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния. У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона № 1, а за другое базисное состояние то, в котором электрон располагался возле протона № 2. Эти два состояния (мы их называли |1> и |2>) мы снова показываем на фиг. 15.1, а.
Фиг. 15.1. Если состояния |1> и |2> отразить в плоскости Р—Р, они перейдут соответственно в состояния |2> и |1>.
И вот, поскольку оба ядра в точности одинаковы, в этой физической системе имеется определенная симметрия. Иначе сказать, если бы нам пришлось отразить систему в плоскости, поставленной посредине между двумя протонами (имеется в виду, если бы все находящееся с одной стороны плоскости симметрично перешло на другую сторону), то возникла бы картина, представленная на фиг. 15.1, б. А коль скоро протоны тождественны, операция отражения переводит |1> в |2>, а |2> в |1>. Обозначим эту операцию отражения Р^ и напишем
Значит, наше Р^ — это оператор, в том смысле, что он «что-то делает» с состоянием, чтобы вышло новое состояние. Интересно здесь то, что Р^, действуя на любое состояние, создает какое-то другое состояние системы.
Далее, у Р^, как у всякого другого оператора, с которыми мы встречались, есть матричные элементы, которые можно определить с помощью обычных очевидных обозначений. Именно
суть матричные элементы, которые получаются, если Р^ |1> и
Р^|2> умножить слева на <1| . Согласно уравнению (15.1), они равны
Таким же путем можно получить и Р21, и Р22. Матрица Р^ относительно базисной системы|1> и |2> есть
Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в квантовой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числительное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать Р^ то оператором, то матрицей, независимо от того, определяет ли оно операцию или реально использовано для получения численной матрицы.
Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть — это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при t=0, система находится в состоянии |1>, а через промежуток времени t мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении — в какой-то линейной комбинации обоих базисных состояний. Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «эволюцию во времени» умножением на оператор U^. Это означает, что система через мгновение (скажем для определенности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии.
Например, это состояние на 2/3 может состоять из состояния |1> и на i1/3 из состояния |2>, и мы бы написали
| на 15-й секунде>=.(15.4)
Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии |2> и при тех же условиях подождем 15 сек? Ясно, что если мир симметричен (что мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметричное с (15.4):
| на 15-й секунде>=
Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2.
Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние |1> развивается во времени так, как показано в части (а), то чистое состояние |2> будет во времени развиваться так, как показано в части (б).
Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.
То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть Q^ — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за Q^ мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под Q^ подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали Q^ по-своему. В частности, через R^y () мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол ». Под Q^ мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной.
Оператор Q^ мы будем называть оператором симметрии для системы.
Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.
Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния |1>, а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние |2>. Напишем
[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию Q^. Состояние |1> преобразится в состояние |'1>, которое также записывается в виде Q^|1>. А состояние |2> превращается в |'2>=Q^|2>. И вот, если физика симметрична относительно Q^ (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить
[Как в (15.5).] Но вместо |'1> можно написать Q^|1>, а вместо |2> написать Q^ |2>, так что (15.7) переписывается в виде
Теперь, если |2> заменить на U^ |1> [см. (15.6)], то получим
Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если только U^ при отражении не меняется.
А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии | 1>, то на самом деле это уравнение для операторов
Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы U^ и Q^ коммутируют. Тогда «симметрию» можно определить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции Q^, когда Q^ коммутирует с U^ (с операцией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразования Q^, выполняется и для матриц Q^ и U^.]
Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — iH^/h, где H^ — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)1, то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и
Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора Q^. Она определяет симметрию.