- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
4.3. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема. Система линейных уравнений (4.1.1) совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
Необходимость. Пусть система (4.1.1) совместна и пусть числа - одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (4.1.1), получим m тождеств, которые показывают, что последний столбец матрицы является линейной комбинацией всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами . Всякий другой столбец матрицы входит и в матрицу А. Поэтому максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает. Следовательно, .
Достаточность. Пусть дано, что . Отсюда следует, что максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает и равно r. Для определенности предположим, что первые r столбцов матриц А и линейно независимы, а остальные (n-r) столбцов является их линейными комбинациями. Выражая последний столбец матрицы А как линейную комбинацию первых r столбцов, получим:
откуда следует, что числа являются решением системы (4.1.1), т.е. система (4.1.1) совместна. Теорема доказана.
На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем:
-
Если , то система (4.1.1) несовместна;
-
Если , то система (4.1.1) совместна.
Пусть для определенности базисный минор порядка r расположен в верхнем левом углу матрицы А. Тогда первые r строк матрицы А линейно независимы, а остальные ее строки являются линейной комбинацией первых r строк. Но это означает, что первые r уравнений системы (4.1.1) линейно независимы, а остальные (m-r) ее уравнений являются их линейными комбинациями. Поэтому достаточно решить систему r уравнений; решения такой системы будут, очевидно, удовлетворять и остальным (m-r) уравнениям.
При этом возможны два случая:
-
. Тогда систему, состоящую из первых r уравнений системы (4.1.1)
можно решить, например, по правилу Крамера. В этом случае система имеет единственное решение, т.е. система совместна и определена;
-
. Рассмотрим первые r уравнений системы (4.1.1). Оставив в левых частях первые r неизвестных, перенесем остальные в правые части. Получим систему:
Очевидно, что полученная система и, следовательно, система (4.1.1) являются совместными и неопределенными.
Таким образом, если , то система (4.1.1) совместна (определенная или неопределенная), если , то система (4.1.1) несовместна.
Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель системы равен нулю, то . Тогда если , то система является совместной и неопределенной. Если , то система несовместна.
Теорема Кронекера-Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы (4.1.1), но не дает способа нахождения решения этой системы. Рассмотрим метод Жордана-Гаусса – метод решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.
4.4. Метод Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса основан на элементарных преобразованиях (п.3.2) строк расширенной матрицы
системы (4.1.1).
В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако системы линейных уравнений, соответствующие полученным матрицам, эквивалентны исходной системе линейных уравнений.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную систему специального вида. Для этого выберем в качестве первого уравнений одно из тех уравнений системы, где коэффициент при х1 отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что . Тогда первым уравнением системы будет уравнение
.
Умножим первое уравнение на . Затем умножим это же уравнение на , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m. После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х1. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен.
.
Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х1 будут исключены неизвестными , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица , соответствующая полученной системе, имеет вид:
.
Используем второе уравнение для исключения неизвестного из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу
.
Продолжая процесс, после r шагов получим матрицу , содержащую r единичных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы).
При этом возможны три случая:
-
Если , то матрица преобразуется в матрицу
Система имеет единственное решение: .
2. Если и r<n, то
Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение имеет вид:
Неизвестные называются базисными. – свободными неизвестными.
Свободным неизвестным можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных . В результате имеем бесконечное множество частных значений.
Среди частных решений системы выделим базисные решения, которые получают при равенстве нулю всех свободных неизвестных. Очевидно, что одним из базисных решений является следующее:
.
В общем случае число базисных решений не превышает .
-
Если , то
где хотя бы один из элементов отличен от нуля. В этом случае система (4.1.1) несовместна.
Таким образом, метод Жордана-Гаусса состоит из r итераций (r шагов). На каждой S-ой итерации выбирается направляющий элемент соответственно направляющие строка и столбец. С помощью элементарных преобразований столбец преобразуется в единичный с единицей в строке .
Рассмотрим алгоритм произвольной итерации метода Жордана-Гаусса. Положим .
Шаг 1. Сформировать множество .
Шаг 2. Если , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае перейти к шагу 3.
Шаг 3. Если для , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае найти направляющий элемент и перейти к шагу 4.
Шаг 4. Разделить направляющую строку на .
Шаг 5. К i-ой строке, , прибавим строку , умноженную на .
Покажем, что столбец преобразуется в единичный с единицей в строке . Пусть . Элементы матрицы выражаются через элементы матрицы следующим образом:
|
(4.4.1) |
|
(4.4.2) |
|
(4.4.3) |
|
(4.4.4) |
Полагая j=k, из (4.4.1) и (4.4.3) имеем
.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
а) |
|
Решение. Составим из данной системы расширенную матрицу
Полагаем .
Итерация 1.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим третью строку на .
Шаг 5. К первой, второй и четвертой строкам прибавляем третью строку, соответственно умноженную на –2, -2, -3. В результате матрица преобразуется в матрицу
.
Итерация 2.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим первую строку на .
Шаг 5. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на –4, -3, 1. Получим матрицу
.
Итерация 3.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим четвертую строку на .
Шаг 5. К первой, второй, третьей строкам прибавляем четвертую строку, соответственно умноженную на 0, -5, -2. Получим матрицу
.
Итерация 4.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим четвертую строку на .
Шаг 5. К первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую строку, соответственно умноженную на -1, 2, 0. Получим матрицу
.
Итерация 5.
Шаг 1. .
Шаг 2. , поэтому процесс элементарных преобразований закончен. На основании вида матрицы получаем единственное решение исходной системы: .
б) |
|
Решение. Составим расширенную матрицу
.
В результате итерации 1, полагая , получим матрицу
После итерации 2, полагая , получим матрицу
Итерация 3.
Шаг 1. .
Шаг 2. .
Шаг 3. Так как , то процесс элементарных преобразований закончен.
Матрица определяет общее решение системы:
- базисные, - свободные переменные.
Получим одно из базисных решений:
.
в) |
|
Решение. Матрицы , , имеют вид:
Очевидно, что процесс элементарных преобразований следует закончить, так как . Из первой (или третьей) строки матрицы следует, что исходная система линейных уравнений несовместна. Действительно, первой строке соответствует уравнение , которое не может быть удовлетворено ни при каких значениях неизвестных .
Используя метод Жордана-Гаусса, рассмотрим еще один метод вычисления обратной матрицы .
Рассмотрим матричное уравнение
, |
(4.4.5) |
где , Е – единичная матрица.
Очевидно, что матричное уравнение (4.4.5) имеет единственное решение .
Решение матричного уравнения (4.4.5) сводится к решению n систем n линейных уравнений с n неизвестными вида
|
(4.4.6) |
Системе линейных уравнений (4.4.6) соответствует расширенная матрица . Применяя к матрице алгоритм метода Жордана-Гаусса, получим матрицу . Покажем, что . Расширенной матрице соответствует матричное уравнение , которое имеет единственное решение Х=В. Матрица получена из матрицы методом Жордана-Гаусса. Поэтому системы линейных уравнений, соответствующие матрицам и , равносильны, т.е. имеют одно и то же решение. Отсюда следует, что , следовательно, .
Таким образом, чтобы для невырожденной матрицы А вычислить обратную матрицу , необходимо составить матрицу . Методом Жордана-Гаусса в матрице преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу .
Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Составим матрицу
.
На итерации 1, полагая , получим
.
На итерации 2, полагая , получим
.
На итерации 3, полагая , получим
,
откуда .