- •1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
- •1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
- •1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
- •1.2. Деформированное состояние в точке тела
- •1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций
- •2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
- •3. Задача 3 "Обратный метод решения задач в теории упругости. Определение нагрузок, приложенных к телу"
- •3.1. Основные уравнения теории упругости
- •3.2. Пример решения задачи
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Определение компонентов деформаций
- •3.2.3. Определение компонент напряжений
- •3.2.4. Определение объемных нагрузок
- •3.2.5. Определение поверхностных нагрузок
- •3.2.6. Выводы
- •4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»
- •4.1. Плоская деформация
- •Геометрические уравнения Коши
- •Физические уравнения – закон Гука
- •Отметим, что Статические уравнения Навье
- •4.2. Плоское напряженное состояние
- •4.3. Функция напряжений
- •4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
- •4.4.1. Постановка задачи
- •4.4.2. Решение задачи
- •4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.4.4. Анализ полученных решений
- •4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Решение задачи
- •4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.5.4. Анализ полученных решений
4.3. Функция напряжений
Итак, решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия (4.24а) вместе с уравнением совместности деформаций (4.24б). Эти уравнения следует дополнить граничными статическими условиями. В дальнейшем полагаем, что объемными силами является только сила тяжести.
При решении уравнений (4.24а) и (4.24б) вводится новая функция, называемая функцией напряжений, которая была предложена Эри. Уравнения (4.24а) тождественно удовлетворяются, если компоненты напряжений выразить через функцию следующим образом:
(4.25)
Таким образом, получают множество решений уравнений (4.24а).
Искомое решение, во-первых, должно удовлетворять уравнению совместности (4.24б), которое с учетом выражений для компонентов напряжений (4.25) получит следующий вид:
или
(4.26)
Во-вторых, искомое решение должно удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).
Функция, удовлетворяющая уравнению (4.26), можно задать в некоторых задачах, например, в виде алгебраических полиномов с постоянными коэффициентами, а эти коэффициенты определяются из условий нагружения на поверхности тела.
Рассмотрим применение этого метода решения на нескольких примерах.
4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
4.4.1. Постановка задачи
П
Рис. 19
Поскольку и толщина мала по сравнению с высотой , то напряженное состояние полосы можно рассматривать как плоское напряженное состояние, т. е. полагать, что напряжения не зависят от координаты . Поэтому ширину сечения b примем равной единице.
По торцам действуют касательные нагрузки, равные , а вопрос о распределении касательных нагрузок по торцам будет рассмотрен ниже.
Также полагаем, что полоса невесома, т. е. объемные нагрузки равны нулю:
(4.27)
Задача о нагружении полосы объемной нагрузкой будет рассмотрена отдельно. (Решение задачи об изгибе полосы одновременно поверхностной и объемной нагрузками получим, используя принцип суперпозиции или наложения.)
Требуется определить напряжения в полосе методами теории упругости и сравнить их с напряжениями, полученными методами сопротивления материалов.
4.4.2. Решение задачи
Решение плоской задачи осуществим обратным методом, задаваясь сначала функцией напряжений, удовлетворяющей уравнению совместности деформаций Сен-Венана (4.26)
и статическим граничным условиям (4.20) на контуре полосы
Рассмотрим функцию напряжений в виде суммы алгебраических полиномов
(4.28)
Каждому полиному соответствуют определенные внешние нагрузки на поверхности полосы. Выбирая полиномы разных степеней, и подбирая для них соответствующие коэффициенты, можно решить много практически важных задач.
Убедимся в том, что, например, функция (4.28) при соответствующем подборе коэффициентов дает решение задачи об изгибе полосы под действием равномерно распределенной нагрузки.
Проверка выполнения уравнения сплошности. Вначале найдем частные производные от функции , входящие в уравнение сплошности Сен-Венана:
Подставляя в условие сплошности (4.26) производные, получим:
(4.29)
Следовательно, условие сплошности деформаций удовлетворяется при любых значениях коэффициентов .
Определение напряжений через заданную функцию . Если в (4.25) вместо функции подставить ее выражение (4.28), то получим
(4.30)
Уравнения равновесия внутри тела выполняется, если искомые напряжения выражены через функцию в виде (4.25). Неизвестные постоянные коэффициенты определим из граничных условий на контуре полосы (b).
Рассмотрим статические граничные условия по граням полосы (см. рис. 19):
верхняя грань:
(4.31)
нижняя грань:
(4.32)
Подставляя в граничные статические условия (4.20), компоненты напряжения (4.30) с учетом (4.31) и (4.32), получим:
(а)
и
(b)
Решая систему уравнений (a) и(b), находим
(4.33)
Если в (4.30) вместо коэффициентов подставить их значения в виде (4.33), то выражения для напряжений будут иметь следующий вид:
(4.34)
По условию задачи на каждом из торцов полосы действуют только касательные нагрузки, равнодействующие которых равны (см. рис. 22). Граничные условия на правом торце:
(4.35)
(4.36)
Из граничных статических условий (4.20) с учетом (4.34)-(4.36) найдем выражения для интенсивности поверхностных нагрузок:
(4.37)
Из решения (4.37) следует, что, во-первых, касательные нагрузки изменяются по параболическому закону на торце; во-вторых, имеют место и нормальные поверхностные нагрузки.
Сен-Венаном было установлено, что изменение распределения нагрузки на торце стержня при одном и том же главном векторе и главном моменте внешних сил приводит лишь к появлению других местных напряжений вблизи торцов стержня, а напряжения вдали от места приложения нагрузки остаются почти неизменными [1, 2, 4].
В связи с этим предлагается вместо точных граничных условий использовать интегральные граничные условия из таблицы 4.2. первой части учебно-методического пособия. На правом торце (рис. 20) показаны равнодействующие поверхностных внешних сил, имеющие положительные значения. Соотношения между этими равнодействующими и интенсивностями поверхностных сил (рис. 20 и 21), имеют следующий вид:
Рис. 21
Рис. 20
(4.38)
В данной задаче равнодействующие поверхностных нагрузок на правом торце (см. рис. 19) имеют следующие значения:
(4.39)
Рассмотрим интегральные условия (4.38) с учетом (4.37) и (4.39). Первое условие (4.38) имеет следующий вид:
(4.40)
Соотношение (4.40) превращается в тождество при любом значении , т. к. переменная имеет четные степени.
Второе интегральное условие (4.38) получает следующее выражение:
Откуда
(4.41)
Наконец, третье интегральное условие (4.38) превращается в тождество:
Если в выражение для (4.37) вместо коэффициента подставим его значение в виде (4.41), то получим
(4.42)
Те же результаты получаются из интегральных условий на левом торце.
Осевой момент инерции поперечного сечения будет (см. рис.21). Тогда окончательные выражения для напряжений (4.34) с учетом (4.42) будут
(4.43)
Сравним полученное решение с решением методами сопротивления материалов.