F(0,1] Эта функция не является ограниченной и не достигает явно наибольшего значения на интервале (0,1] Свойства монотонных функций. Def.2 f:er называется .

1. монотонно неубывающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)f(x₂)

2. монотонно возрастающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)<f(x₂)

3. монотонно невозрастающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)f(x₂)

4. монотонно убывающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)>f(x₂)

Такие функции называются монотонными функциями на [a,b]. Монотонные функции обладают рядом свойств, которыми не обладают немонотонные функции.

T h.1 (о точках разрыва монотонных функций) Пусть задана f: [a,b]R, которая

является монотоной на [a,b]. Тогда :

Если f на [a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=inf_х[xo,b]f(x)=:A и

1)lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=sup_х[xo,b]f(x)=:B и справедливо неравенство :

B=f(x₀-0)f(x₀)f(x₀+0)=:A

2) Если f на [a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=sup_х[xo,b]f(x)=:C и

lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=inf_х[xo,b]f(x)=:D и справедливо неравенство

С=f(x₀+0)f(x₀)f(x₀-0)=:D

Замечание Если f на [a,b], то (-f) на [a,b] и если мы докажем, что какой-то результат (-f) мы то для f мы автоматически получамем результат и наоборот 1)2), если взять (-f) вместо f  достаточно достаточно доказать 1), а 2) получаим из 1заменой f(x) на (-f(x))

) В силу монотонного неубывания f на [a,b] имеем: f(x₀)f(x) x(x₀,b] (1); f(x₀)f(x) x(x₀,b] (2). Из (1)  f(x₀)-миноранта множества значений функций f на (x₀,b] f(x₀)inf_0x(xo,b]f(x)=A

Из 2)  f(x₀)-мажоранта множества значений функций f на [а,x₀) f(x₀)sup_{0x[a, xo)}f(x)=A

A f(x₀)B Доукажем, что A=f(x₀+0) >0 [A,A+]. По определению точной нижней грани x₁(x₀,b): f(x₁)[A,A+], т.к. функция монотонно неубывает, то x(x₀,x₁) f(x)[A,A+] [A,A+]= U⁺(A) U⁺(x₀)= (x₀,x₁):f(U⁺(x₀)) U⁺(A), а это означает по определению правого предела, что f(x₀+0):=lim f(x)=A. Аналогично левый предел равен В.  f(x₀+0):=A f(x₀+0):=B

Следствие Функция f:ER монотонная на [a,b]Е  она она может иметь только точки

разрыва первого рода типа конечного скачка.

По теореме  f(x₀+0) и  f(x₀-0)  x₀[a,b]  если x₀ – точка разрыва, то она точка разрыва первого рода, причем устранимого разрыва здесь быть не может, т.к. точка устранимого разрыва f(x₀+0)= f(x₀+0) f(x₀), этого быть не может  f(x₀-0) f(x₀) f(x₀+0), если f на [a,b] f(x₀-0)f(x₀)f(x₀+0), если f на [a,b]. Если был бы устранимый разрыв, то функция становилась бы автоматически непрерывной в силу последних неравенств  x₀ может быть только конечным скачком.

Th.2 Множество точек разрыва монотонной на отрезке [a,b] функций не более чем счетно.

Lem. Пусть функция f:[a,b]R и f монотонна на [a,b]. Тогда число точек, в которых модуль

скачка функции больше заданного положительного числа , является конечным.

Пусть точка x’[a,b]-точка разрыва функции, а скачок h(x’)=f(x’+0)-f(x’-0)

Пусть f на [a,b] Если так, то h(x’)>0 h(x’)>>0. Предположим, что таких точек x’ бесконечное число, тогда сумма всех скачков функции в точке x’ будет равна 

С другой стороны сумма всех скачков не превосходит _x’ h(x’)f(b)-f(a)<+  противоречие   так точек конечное число

( Th.2) Пусть kN. Обозначим через А_к множество точек разрыва, в котором модуль скачка > 1/k. Тогда множество А точек разрыва функции f будет равно А=U^_к=1А _к А есть счетное объединение конечных множеств, т.к. по лемме каждое множество А _к не более чем конечно , а счетное объединение конечных множеств есть множество счетное  А – счетное множество

Th.2 и Th.2 выражают свойсьтва монотонных функций.

Th.3 (Критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция f:[a,b]R является

монотонной. Для того, чтобы fС[a,b] (была непрерывной) необходимо и достаточно, чтобы эта функция отображала [a,b] в отрезок с концами f(a) и f(b).

Докажем Th.3 для случая f на [a,b]. Случай f на [a,b] сводится к предыдущему заменой f на –f . Требуется доказать, что из условия fС[a,b] f([a,b])= [f(a), f (b)]

1 )Пусть fС[a,b]. Тогда по следствию из Th. Больцано-Коши заключаем, что l[f(a),f(b)]: c[a,b]:l=f(c)-это означает, что f([a,b])= =[f(a), f (b)] (это верно для  непрерывной функции)

2) Пусть f([a,b])= [f(a), f (b)] и требуется доказать, что функция непрерывна при условии, что она монотонна. Предположим противное, т.е.  x₀[a,b] x₀ – точка разрыва функции f. Согласно Th.1 в точке x₀ – разрыв первого рода типа конечного скачка, т.е. f(x₀-0); f(x₀+0)

f (x₀-0)f (x₀) f(x₀+0) (f на [a,b]). Хотя бы в одном из этих неравенств имеет место знак строгого неравенства. Рассмотрим 2 множества (f(x₀-0), f(x₀)), (f(x₀),f(x₀+0)). Хотя бы одно из этих множеств является интервалом,свободным от значений функции f(x). Таким образом, функция f должна отображать [a,b] на часть отрезка [f(a), f (b)], что противоречит условию

f([a,b])= [f(a), f (b)]  Th.3 доказана.

Возникает вопрос, существенно ли в этой теореме предположение о монотонности функции, т.е. верно ли утверждение, что если функция отображает отрезок в отрезок, то она является непрерывной на отрезке ? Это не верно!  условие монотонности в этой теореме является существенным.

Th.4 (О достаточном условии  и непрерывности обратной функции).

Пусть задана f:ХR монотонная (монотонна возрастает или монотонна убывает на Х), т.е. f на Х или f на Х. Тогда:

1) f^-1:IX, где I= f(х). При этом характер монотонности функции f^-1 на I такой же, как и характер монотонности f на множестве Х

2)Если Х[a,b] и fС[a,b], то  f^-1-непрерывна на множестве I – отрезке с концами f(a) и f(b)

Докажем Th.4 для f, а сводится f заменой f на –f. Если f на Х   x₁,x₂Х: x₁<x₂ f(x₁)<f(x₂). Это означает, что если x₁x₂(x₁Х и x₂X), то f(x₁)f(x₂)

Это значит, что отображение, осуществленное функцией f множества Х на множество I:=f(X), являются взаимно однозначными (инъективными), а функция- инъекцией

Кроме того f^-:X I, где I= f(х) осуществляет отображение множества Х на все множество I, т.е. это отображение сюрьективно. Таким образом, f^-:X I = f(х), является биекцией   f^-1:IX, где I= f(х). Докажем, что функция f^-1монотонна возрастает на I . Для этого рассмотрим2 числа у₁,у₂I: у₁<у₂; у₁=f(x₁); у₂=f(x₂)  f(x₁)<f(x₂) x₁<x₂ рассмотрим

f^-1(у₁)= f^-1(f(x₁))=x₁ (по определению обратной функции); f^-1(у₂)= f^-1(f(x₂))=x₂.Но x₁<x₂ 

 x₁= f^-1(у₁)< f^-1(у₂)=x₂  из у₁<у₂ вытекает

f^-1 (у₁)<f^-1 (у₂) f^-1 на I (1-е доказано).Докажем

2-ое: Х=[a,b] и fС[a,b]  f^-1С[f (a),f(b)]; f на [a,b]

fС[a,b]  f([a,b])= [f (a),f(b)]=I 

 f^-1:[f (a),f(b)] [a,b]f^-1С[f (a),f(b)] 

Обратная функция , эта функция не является непрерывной, т.к. условие монотонности нарушено.

Равномерная непрерывность.

Рассмотрим обычное определение непрерывности функции в точке f:ER, назыавется непрерывной в точке аЕ  >0 >0:(xE и |x-a|<)|f(x)-f(a)|<. Вообще говоря, =(,а)

При изменении точки а для одной и тойже функции f и для того же >0, число , выбираемое по  будет изменяться.

Это не очень важно, если точка а фиксирована. Однако, если точка а изменяестся на множестве АЕ, то может возникнуть 2 случая:

1) Для каждой точки аА >₁>0

2) ₁>0: аА >₁>0, т.е.

a) inf_aA(,а)= ₁>0

b) inf_aA(,а)=0. Функция является равномерно непрерывной в 1-ом случае.

Def.2 Пусть задана f:ER (Е-числовое множество). Эта функция называется равномерно

непрерывнойна множестве АЕ, если >0 =()>0: (x₁A и x₂A: |x₁- x₂|< 

|f(x₁)-f(x₂)|<). Если x₂=a, x₁=х, то определение равномерной непрерывности функции f на множестве А превращается в обычное определение непрерывности функции f в точке а.  из равномерной непрерывности на множестве А вытекает обычная непрерывност на том же множестве А, а обратное утверждение неверно.

Пример f(x)=x²R, непрерывна на R, но не равномерно непрерывна на R.

Докажем это: рассмотрим x_n’=(n+1)^1/2 и x_n”=n^1/2 nN | x_n’- x_n”|=(n+1)^1/2-n^1/2=

=1/((n+1)^1/2+n^1/2)0 (n) |x_n’-x_n”|> (>0) при n-достаточно большом, рассмотрим f(x_n’)=( (n+1)^1/2) ²=n+1

f(x_n”)=(n^1/2)²=n; |f(x_n’)-f(x_n”)|=n+1-n=1  разность не мала, хотя точки близки друг к другу  функция f(x) не является равномерно непрерывной на множестве R. Однако .

Th. (теорема Кантора о равномерной непрерывности (из Зорича))

Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке

Пусть f: ER; E = [a, b] и f  C(E). Поскольку f непрерывна в любой точке х  Е, то по  > 0 можно найти такую -окрестность U^(x) точки х, что колебание (f, U^_E(x)) на

множестве U^_E(x) := E  U^(x) окажется меньше . Для каждой точки х  Е построим окрестность U^(x) обладающую этим свойством. Величина  при этом может меняться поэтому окрестности обозначим U^(х)(x). Введем условную запись U(x) = U^(х)(x) и

V(x) = U^1/2(x)(x). Интервалы V(x), х  Е, в совокупности образуют покрытие отрезка

E = [a, b]. Из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное покрытие V(x₁), …, V(x_n). Пусть  = min{1/2(x₁), …, 1/2(x_n)}. Покажем, что для любых точек х’, x’’  E, таких, что|x’-x’’|<, выоплнено |f(x’)-f(x’’)|<. Действительно, поскольку система интевалов V(x₁), …, V(x_n) покрывает Е, найдется интервал V(x_i) этой системы, который содежит точку х’, т.е. |x’ - x_i |<1/2(x_i), но в таком случае

|x’’- x_i| | x’ – x’’| +| x’ - x_i | <  +1 /2(x_i) < 1/2(x_i) + 1/2(x_i) = (x_i).

 x’, x’’ U^(xi)_E(x_i) = E  U^(xi)(x_i) и потому | f(x’) - f(x’’)|  (f, U^(xi)_E(x_i)) < 

Дифференциальное исчисление.

Приращение функции.

Def.1 f : E R и х-предельная точка для Е. Пусть h  R : x + h  R, тогда разность

f(x +h) – f(x) =: f называется приращением функции f = f(x, h)

f(x) x: RR f =: x =x+h-x = h x =x (h)

Th.1 (Критерий непрерывности функции в точке)

f : ER непрерывна в точка х  Е  lim _{h0, x + h  E} f = 0

 0 = lim _{h0, x + h  E} f  lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x)) = 0 

lim _{h0, x + h  E} f(x + h) = f(x)  функция непрерывна в точке х  Е

f – непрерывна в точке х  Е  f = ō(1) (h0, x  E)

Дифференцируемые функции.

Def.1 Пусть задана f: ER и х  Е, х- предельная точка для Е .f – называется дифференцируемой в точка х  Е, если ее f можно представить в виде f := f(x +h) – f(x) = A(x)*h +  (x, h) (1), где А (х) – функция от х не зависит от h,  (x) = ō(h)

(h0, x + h E)

lim _{h0, x + h  E} (x, h)/h =0

Если A(x)  0, то первое слагаемое в правой части (1) является главным слагаемым по отношению ко второму, т.к. второе слагаемое мало по отношению к первому.

Def.2 Пусть f: ER и x  E, х – предельная точка для Е. Дифференциалом функции называется величина А(х)*h при условии, что f – дифференцируемая функция в точке х

Символ : d’f = A(x)*h (2) (функция от h линейна)

Рассмотрим конкретную функцию f (x)  x

f =: x = x + h – x = h

x = 1 * h + (x, h), где (x, h) = 0

Значит эта функция дифференцируема в любой точке х и dx = h

Дифференциал функции f(x) = x называют дифференциалом аргумента и обозначают

Символом dx и dx = h, подставляя вместо h dx получаем df = A(x)*dx (3)

Def.3 Пусть f : ER, x  E, x – предельная точка для Е, если 

lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x))/h = lim _{h0, x + h  E} f/h , то он называетя производной

функции f в точке х и обозначается f’(x) f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x))/h

Th.2 (Критерий дифференцируемости функции в точке)

f: ER – дифференцируема в точке х  Е, х – предельная точка для Е   f’(x), причем A(x) = f’(x)

1) Пусть f – дифференцируема в точке х  Е  f = A(x)*h +  (x, h) где (x, h) = ō (h)

f = A(x)*h + ō (h) (h0, x + h E)

h  0 f/h = A(x) + ō(h)/h = A(x) + ō(1) (h0, x + h E)

f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f/h) = lim _{h0, x + h  E} (A(x) + ō(1)) = A(x)   f’(x) = A(x)

2)  f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f/h)  f/h =f’(x) + (x, h)

(x, y) = ō (1) (h0, x + h E)

f = f’(x)*h + h*(x, h) A(x) = f’(x) h*(x, h) =  (x, h)

Эта теорема показывает, что дифференцируемость функции в точке совпадает с понятием производной функции.

Если функция дифференцируема в точке х  Е, то f = ō(1) (h0, x + h E)

 функция непрерывна в точке х  Е. из дифференцируемости всегда следует непрерывность, но наоборот неверно.

Касатальная к графику функции.

Геометрический смысл производной.

Постановка задачи: f: ER, x₀  E, x – предельная точка для Е

Будем искать линейную функцию вида: y(x) = a₀ + a₁ (x - x₀) (5)

f(x) = y(x) + ō(x-x₀) (xx₀, x  E) (4)

f – дифференцируема в точке x₀,  f – непрерывна в точке x₀  f(x₀) = lim_{xxo, xE} f(x)

f(x) = a₀ + a₁ (x - x₀) + ō(x-x₀) (xx₀, x  E)

f(x₀) = lim _{x xo, x  E} (a₀ + a₁ (x - x₀) + ō(x-x₀)) (xx₀, x  E) f(x₀) = f(a₀)

f(x) - f(x₀) = a₁ (x - x₀) + ō(x - x₀) (xx₀, x  E)

(f(x) - f(x₀))/(x - x₀) = a₁ + ō(1) (xx₀, x  E) x - x₀= h x = x₀ + h

(f(x₀ + h)-f(x₀))/h = a₁ + ō(1) (xx₀, x + h  E)

f’(x₀) = lim _{x xo, x + h  E}(f(x₀ + h)-f(x₀))/h = a₁

Это единственная линейная функция удовлетворяющая (4). Функция (5) есть разность

f(x) – y(x) = ō(x - x₀) (xx₀) т.е. функция (5) пртближает (аппроксимирует) функцию f(x) и тем лучше, чем меньше х отличается от x₀.

Def.4 Касательной к графику функции, дифференцируемой в точке x₀, f(x) называется прямая,

С уравнением y = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀), проходящая через точку (x₀, f(x₀)).

k = f’(x₀), k = tg,  - угол наклона касательной к положительному направлению Ох.

f’(x₀) = tg

Покажем геометрический смысл дифференциала функции

df = A(x)dx A(x) = f’(x) df = f’(x)dx  f’(x) = df/dy

f: ER – дифференцируема в точке x₀  Е, x₀ – предельная точка для Е.

tg = AB/BM₀  AB = tg*BM₀= f’(x₀)dx = df

Дифференцирование арифметических операций.

Th.1 Пусть f: ER и u: ER – дифференцируемы в точке х  Е, х – предельная точка для Е,

Тогда справедливы утверждения:

1. f(x) + u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x) + u(x))’ = f’(x) + u’(x)

2. f(x)*u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x)*u(x))’ = f’(x)*u(x) + f(x)*u’(x)

3. f(x)/u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x)/u(x))’ = (f’(x)*u(x) - f(x)*u’(x))/u²(x)

 1. F(x) = f(x) + u(x) F = F(x + h) – F(x) = f(x + h) + u(x + h)­­ – (f(x) + u(x)) =

= (f(x + h) – f(x)) + (u(x + h) – u(x)) = f - u = f’(x)*h + ō(h) + u’(x)*h + ō(h)=

=(f’(x) + u’(x))h + ō(h) (h0, x + h  E)  F(x) - дифференцируемa в точке х

F = (f(x) + u(x))’*h + ō(h)

(f(x) + u(x)) = f’(x) + u’(x) 

2. и 3. Доказываются аналогично

Дифференцирование сложных функций.

Th.1 Пусть функция u = u(x) : X U дифференцируема в точке х  Х, а функция y = f(u): UR дифференцируема в точке u = u(x)  U, тогда сложная функция y = f(u(x)): XR

дифференцируема в точке x и при этом сраведливо равенство:

[f(u(x))]’ = f’_u(u)*u’_x(x)

u = u(x + h) – u(x) = u’(x)*h + ō(h) (x, x + h  X) (1)

x – фиксировано u =u(h)

f = f(u + h₁) – f(u) = f’(u)* h₁+ (u, h₁) (2)

где (u, h₁) = ō(h₁) = h ₁*ō(1) = h ₁* (u, h₁)

lim _{h1  0} ( u, h₁) = 0

Функция ( u, h₁) при u – fixe, как функция от h₁ определена в некоторой проколотой окрестности точки h₁ = 0, а в самой точке h₁ = 0 она может быть и не определена. Доорпеделим функцию ( u, h₁) в нуле положив ( u, 0) = 0, тогда эта функция становится непрерывной в точке ноль, т.к. lim _{h1  0} ( u, h₁) = 0 = ( u, 0)

В равенстве (2) число h является независимой переменной, и поэтому мы можем положить h₁ = u(h). Тем самым h₁ есть функция от h. Пусть h0 (h  0, x + h  Х).

Тогда из (1) следует , что u0 (h0)

Поскольку мы доопределили функцию ( u, h₁) и тем самым сделали ее непрерывной в точке h₁ = 0 , то мы можем в (2) вместо h₁ подставить u, несмотря на то, что u может обращаться в 0 при некоторых h₁ отличных от 0.

Поэтому вместо (2) мы можем написать:

f = f(u + u) – f(u) = f’(u)* u + u*( u, h₁) = (f’(u) + ( u, h₁)) u (u , u + u  U, u0)

А теперь вместо u подставим равенство (1):

f =(f’(u) + ō(1))(u’(x)*h + ō(h)) = f’(u)*u’(x)*h + ō(h) (x, x + h  X) (3)

Равенство (3) означает, что сложная функция и ее дифференциал

df(u(x)) = f’_u(u)*u’_x(x)*h

df(u(x)) = [f(u(x))]’_x*h

[f(u(x))]’_x = f’_u(u)*u’_x(x) 

Пример:

y = u³ y (x) = (sinx)³

u = sinx y’(x) = 3*(sinx) ² *cosx

Дифференцирование обратной функции.

Th. Пусть задана функция f: XY (X, Y R), которая в некоторой окресности точки х₀  Х имеет обратную функцию f^-1: Y  X. Пусть f дифференфцируема в точке х₀ и f(х₀)0 и пусть f^-1 непрерывна в точке y₀ = f(х₀)  Y.Тогда f^-1 дифференцируема в точке y₀ = f(х₀) и ее производная в этой точке вычисляется по формуле: (f^-1(y₀))’_у = 1/f’_x(x₀)

 Рассмотрим разности f(x) - f(x₀) и f^-1(y) - f^-1(y₀). Если х х₀, то обе разности отличны от 0 lim _{Yэ yyo} (f^-1(y) – f^-1(y₀))/(f(x) – f(x₀)) = lim _{Yэ yyo} (f^-1(y) – f^-1(y₀))/(y - y₀) = *

Введем замену: y - y₀ = h y = f(x) y₀ = f(x₀) f^-1(y) = x f^-1(y₀) = x₀

*= lim _{ho, yo + h  Y} (f^-1(y + h) – f^-1(y))/h = (f^-1(y₀))’_y

(f^-1(y₀))’_y = lim _{X э xxo} (x – x₀)/(f(x) – f(x₀) = lim _{X э xxo} 1/( (f(x) – f(x₀)/(x – x₀)) =

= 1/lim _h0 ((f(x₀ + h) – f(x₀))/h) = 1/f’_x(x₀)

Производная f^-1(y₀)  т.к. функция дифференцируема

Таблица производных.

Пусть u = u(x) – дифференцируемая функция в точке х, тогда справедливы формулы,

которые называются таблицей производных:

2. 1) (c) = 0 c = const

2. 2) (u^)’ = * u^{ - 1} *u’   R

3. 3) (a^u)’ = a^u lna * u’ a > 0, a1

4. 4) (e^u)’ = e^u * u’

5. 5) (log_au)’ = 1/(u * lna)*u’

6. 6) (lnu)’ = 1/u*u’

7. 7) (sinu)’ = cosu * u’

8. 8) (cosu)’ = -sinu* u’

9. 9) (tgu)’ = 1/cos²u* u’

10. 10) (ctgu)’ = -1/(sin²u)* u’

11. 11) (arcsinu)’ = 1/(1 - u²) * u’

12. 12) (arccosu)’ = -1/(1 - u²) * u’

13. 13) (arctgu)’ = 1/(1 + u²) * u’

14. 14) (arcctgu) = -1/(1 + u²) * u’

15. 6) f(x) = lnx

16. f(x) = lim _h0 (ln(x + h) - lnx)/h = lim _h0(ln(1 + h/x))/h = 2-ой замеч. предел = 1/х

17. (lnu)’_x = 1/u*u’

18. 2) y = u^

19. lny = * lnu 1/y*y’_x =  * 1/u * u’  y’_x = *y*u’/u = * u^*u’/u = * u^*u’/u =

20. =* u^{ - 1} *u’

7) y = sin

2. y’ = lim _h0 (sin(x + h) – sinx)/h = lim _h0 2*sin(h/2)*cos(x + h/2)/h = 1-ой замеч. предел

3. = cosx

4. 11) x = siny :[-/2, /2]  [-1, 1]

5. y = arcsinx : [-1, 1]  [-/2, /2]

6. (arcsinx)’_y =1/(siny)’_y = 1/cosy = 1/ (1 - sin²y) = 1/(1 - x²)

7. (arcsinu)’ _x = 1/(1 - u²) * u’_x

Дифференцирование параметрически заданных функций.

Пусть заданы 2 функции x = x(t) и y = y(t) – дифференцируемые в точке t ₀ .Пусть x = x(t) в некоторой окресности имеет непрерывную обратную функцию t = t(x), тогда y = y (t(x)), т.е. получаем сложную функцию аргумента.

y’_x = (y(t(x)))’ = y’_t *t’_x (x)

y’+_x| _x=xo =y’_t| _t=to *t’_x (x)=y’_t| _t=to(1/x’_t(t)|_t=to)

y’_x|(x ₀) = y’_t(t₀)/x’_t(t₀) , t₀ = t(x₀), x₀ = x(t₀)

Пример: x = t² + t t > 0 y’ = cost/(2t + 1) (x=t² + t) y = sint

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть f: ER  x E  f’(x): ER, тогда f’(x)- является некоторой функцией f’(x):ER, эта новая функция может быть также дифференцируема в точке х:

f’’(x) = f⁽²⁾(x) := (f’(x))’

f’’’(x) = f⁽³⁾(x) := (f’’(x))’

-----------------------------

f⁽ⁿ⁾(x) := (f^(n-1) (x))’

f⁽⁰⁾(x)  f(x)

D_n (E) или D⁽ⁿ⁾(E)– множество функций f(x):  f⁽ⁿ⁾ (x),  x E

f⁽ⁿ⁾(x)  D_n (E)

Сⁿ(E) = {f(x): f:ER,  f⁽ⁿ⁾(x),  x E, f⁽ⁿ⁾(x)  C(E)}

Сⁿ(E)  D_n (E)

Дифференциалом 2-го порядка от функции f(x) называется дифференциал от дифференциала 2-го порядка f(x).

d(df(x)) =: d²f

d²f = d(df(x)) = d(f’(x)*h) = h * d(f’(x)) = h * f’’(x)*h = f’’(x)* h²

d²f = f’’(x)(dx) ² = f’’(x) dx²

dⁿf = d(d^n-1f) dⁿf = f⁽ⁿ⁾(x)*hⁿ = f⁽ⁿ⁾ (x)*dxⁿ

f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿf/dxⁿ