- •21. Функции. Понятие. Классификация.
- •22. Предел последовательности и его свойства.
- •23. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •24. Определенный интеграл и его свойства.
- •25. Случайные события. Действия. Свойства.
- •26. Случайные события. Операции. (Теоретико-множественная трактовка).
- •27. Относительная частота. Свойства. Статистическое и классическое определение вероятности.
- •28. Элементы комбинаторики. Схема выбора без возвращения.
- •Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется с помощью формулы
- •29. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением.
- •30. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
26. Случайные события. Операции. (Теоретико-множественная трактовка).
Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Пространство множества всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта элементарных событий обозначим как , а сами исходы – .
Случайным событием A называется любое подмножество , если - конечно или счетно, т.е. элементы множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел. .
Элементарное событие, входящее в множество A подмножества называется благоприятствующими событию A.
Множество называется достоверным событием.
называется невозможным событием.
Над событиями можно проводить все операции, выполняемые для множеств:
-
Сумма. Если и , то - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному событию A или B.
-
Произведение двух событий A и B – это множество, которое содержит элементы общие для событий A и B.
-
Разностью двух событий A и B называется множество, которое содержит элементы события A, не принадлежащие B.
-
Противоположное событию A есть событие .
-
Событие A влечет событие B, если каждые элементы события A содержатся в B.
-
События A и B называется несовместимыми, если их произведение есть невозможное событие. .
-
События образуют полную группу несовместимых событий, если выполняется следующее условие
и .
В случае несчетного пространства в качестве событий рассматриваются не все подмножества , а лишь некоторые классы этих подмножеств.
27. Относительная частота. Свойства. Статистическое и классическое определение вероятности.
Определение. Пусть в n повторяющихся опытах некоторое событие A наступило раз. Число называется частотой события A.
Определение. Отношение называется относительной частотой события A в рассматриваемой серии опытов.
Свойства относительной частоты.
-
Частота любого события заключена между 0 и 1.
-
Частота невозможного события равна 0. .
-
Частота достоверного события равна 1. .
-
Частота суммы двух несовместимых событий равна сумме частот этих событий.
при .
-
Свойство статистической устойчивости: с увеличением числа опытов частота принимает значения близкие к некоторому постоянному числу.
Статистическое определение вероятности.
Определение. Вероятность события – это число, выражающее степень возможности появления события в рассматриваемом опыте.
Определение. Статистической вероятностью события A называется число, около которого колеблется частота события A при достаточно большом числе испытаний.
Вероятность обозначается (1).
Свойства вероятности аналогичны свойствам относительной частоты.
Классическое определение вероятности.
Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы равновозможных несовместимых событий. Исходы называются случаями, опыт классическим опытом. Случай, который приводит к наступлению события A, называется благоприятствующим.
Определение. Вероятностью события A называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию к общему числу n случаев, т.е.
(2)
Свойства классической вероятности:
-
-
-
-
Если , то .