4.Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
Обозначение: .
Теорема. (Свойства скалярного произведения.)
1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
, .
2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:
или или .
3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
.
4). .
Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:
, .
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
, ,
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими словами, пусть , . Тогда
.
Следствие 1. Пусть . Тогда .
Следствие 2. Пусть , . Тогда
.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) и ;
2) тройка векторов является правоориентированной;
3) .
Из определения следует, что, если векторы , и отложить от одной точки, то
1) вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и
2) кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотреть "сверху", т.е. со стороны вектора ;
3) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на его сторонах.
Теорема. (Свойства векторного произведения.)
1). Антикоммутативность:
, .
2). Условие коллинеарности векторов:
.
3). Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на его сторонах.
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Свойства
-
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
-
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
-
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
В частности,
-
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
-
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда,
-
образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.