![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Е.В. Бондарева
- •I. Линейная алгебра
- •§ 1. Матрицы. Действия над матрицами
- •§ 2. Определители.
- •§3. Обратная матрица.
- •§4. Ранг матрицы.
- •§5. Системы линейных уравнений.
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§6. Векторы. Линейные операции над векторами (задачи на построение)
- •§7. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на заданное направление.
- •§8. Векторное произведение векторов.
- •§9. Смешанное произведение векторов.
- •§10. Линейные пространства.
- •§11. Линейные преобразования, §12. Квадратичные формы.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •§13. Простейшие задачи на плоскости.
- •§14. Уравнение прямой на плоскости.
- •§15. Кривые второго порядка.
II. Элементы векторной алгебры
§6. Векторы. Линейные операции над векторами (задачи на построение)
1.
Даны
произвольные векторы
и
.
Построить векторы:
1)
+
;
2)
−
;
3)
−
−
.
2.
Даны
произвольные векторы
,
и
.
Построить
векторы:
1)
+
+
;
2)
+
−
;
3)
−
+
;
4)
−
−
.
3.
Пользуясь параллелограммом, построенном
на векторах
и
,
проверить на чертеже справедливость
тождеств:
1)
(
+
)
+ (
−
)
= 2
; 2)
(
+
)
− (
−
)
= 2
;
3)
+(
−
)
=
.
4.
Даны векторы
,
и
.
Построить
векторы:
1)
2
−
;
2)
3
−
;
3)
+
− 4
;
4)
−
5.
Векторы
и
взаимно перпендикулярны, причем
=5,
=12.
Определить
1)
|
+
|;
2)
|
−
|.
6. Вычислить модули векторов:
1)
=
2
−
10
+
11
;
2)
=
+
2
−
2
;
3)
=
2
−
5
.
7.
Найти длину вектора
,
если А (1; 2; −3) и В (3; −1; 0)
8.
Дан вектор
=7
−
+5
.
Определить координаты точки В, если А
(−2;1;0).
9.
Дано
=
+2
− 3
.
Определить координаты точки А, если В
(1; −1; 5).
10. Вычислить направляющие косинусы для векторов:
1)
=
3
−
4
+
5
;
2)
= 12
−
3
− 4
.
11.
Вектор
составляет с осями координат равные
острые углы. Определить эти углы.
§7. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на заданное направление.
1.
Вычислить скалярное произведение
векторов
и
,
если:
1)
=
2
−
3
+
4
;
=
3
−
−
2
;
2)
=
−
−
5
;
=
4
+
2
+
;
3)
=
2
+
3
+
4
;
=
−2
+ 4
−
2
.
2.
Определить угол между векторами
и
,
если:
1)
=
2
+
−
4
;
=
−
2
+
2
;
2)
=
+
;
=
+
2
− 2
;
3)
=
–
2
+2
;
=
–
+
.
3.
Показать, что вектор
=
3
+2
+5
перпендикулярен вектору
=
2
−
3
.
4. Даны координаты вершин треугольника в пространстве: А (−1; 2; 3); В (1; 1; 1); С (0; 0; 5) . Показать, что треугольник АВС – прямоугольный.
5.
Найти угол между векторами
и
,
если:
А (5; −2; 3); В (7; −4; 4); С (0; −1; 2); М (4; 3; 6).
6. Определить, при каком значении m векторы
=
m
−
3
+
2
и
=
+
2
−m
взаимно перпендикулярны.
7.
Даны векторы
и
.
Определить
и
если:
1)
=
+
−
2
;
=
−
+ 3
;
2)
=
+
+
2
;
=
−
+ 4
.
8.
Найти проекцию вектора
на вектор
,
если:
1) А (3; 1; 0); В (0; −2; 6); С (3; −2; 0); М (1; −2; 4);
2) А (− 2; 3; 4); В (2; 2; 5); С (1; −1; 2); М (3; 2; −4).
§8. Векторное произведение векторов.
1.
Дано:
=3,
=8.
Найти векторное произведение
,
если угол φ между векторами равен:
1) 0; 2) 30о; 3) 90о; 4) 120о; 5) 150о.
2. Упростить выражения:
1)
2)
|
1)
2)
|
3. Найти векторное произведение для следующих пар векторов:
1)
2)
|
3)
2)
|
4.
Найти вектор
,
если
1)
2)
|
1)
2)
|
Вычислить
в каждом случае площадь параллелограмма,
построенного на векторах
.
5. Вычислить площадь треугольника с вершинами:
1) А (2; 2; 2); В (1; 3; 3); С(3; 4; 2);
2) А (– 3; – 2; – 4); В (– 1; – 4; – 7); С(1; – 2; 2);
6.
Найти орт
,
перпендикулярный векторам:
1)
; 2)
;
7. Дан треугольник с вершинами А (9; – 9; 13); В (7; – 13; 17); С(17; – 3; 17). Найти длину высоты, проведенной из вершины С.
8.
Дано:
=5,
=2,
=6.
Найти
.
9.
Дано:
=10,
=2,
=16.
Найти
.