7.2. Метод последовательных приближений Якоби (простой итерации)

Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений порядка n:

(7.2)

Если в системе (7.2) диагональные элементы матрицы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n), то можно выразить x₁ из первого уравнения системы, x₂ – из второго, …, x_n – из последнего уравнения n:

(7.3)

Полученную эквивалентную систему (7.3) используют для выполнения итерационного процесса следующим образом. Вначале задается начальное (нулевое приближение) искомого решения, которое обозначим какх⁽⁰⁾. Подставляя вектор данных значений в правую часть (7.3), в левой части получим новые значения для вектора решений, которые обозначим какх⁽¹⁾. Подставляях⁽¹⁾ в правую часть (7.2), в левой получим следующее приближениех⁽²⁾ и т.д.

Таким образом, из (7.3) получены рекуррентные соотношения, позволяющие по текущему приближенному решению х^(k) получить следующее приближениех^(k+1):

(7.4)

Соотношения (7.4) задают расчетную схему итерационного процесса, называемого методом простой итерации или методом Якоби.

Для косвенной оценки близости получаемого приближенного решениях^(k+1) к точномух* используется условие (7.1) для нормы вектора разности между приближениямих^(k+1) их^(k): Оценка сходимости итерационного метода в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу. Одним из простейших видов ограничений на вид матрицы системы, гарантирующих сходимость метода простой итерации к точному решению, является условие диагонального преобладания.

Достаточное условие сходимости метода простой итерации. Если для матрицы системы А выполнено условие диагонального преобладания во всех строках:

(7.5)

то итерационный процесс метода простой итерации сходится при любом выборе начального приближениях⁽⁰⁾.

В тех случаях, когда матрица системы уравнений не удовлетворяет условию диагонального преобладания (7.5), вопрос о сходимости метода остается открытым и его нужно исследовать другими методами.

Выбор начального приближения может существенно повлиять на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения х⁽⁰⁾ принимают вектор с компонентами х_i⁽⁰⁾, равными:

1) b_i/a_ii (обычно используется в случае диагонального преобладания в матрице системы А) либо

2) 0 - для матриц других типов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью =0,1:

Для устранения ошибок вычислений все промежуточные результаты найти в рациональном виде. В конце расчета результат округлить с точностью до 4 знаков после запятой. Найти абсолютные и относительные погрешности найденных значений неизвестных.

Решение. Составляем на основе системы расчетную схему задачи:

Строки матрицы удовлетворяют условию диагонального преобладания. Выбираем начальное приближениех⁽⁰⁾:

х₁⁽⁰⁾ = (-3)/(-4)= 3/4; х₂⁽⁰⁾ = (-14)/4 = -7/2; х₃⁽⁰⁾ = 9/2.

Итерация 1. Рассчитываем первое приближениех⁽¹⁾, находим норму разностих⁽¹⁾ -х⁽⁰⁾ и сравниваем ее с :

.

Так как норма приращения вектора решения больше , итерации необходимо продолжить.

Итерация 2. Рассчитываем второе приближениех⁽²⁾, находим норму разностих⁽²⁾ -х⁽¹⁾ и сравниваем ее с :

.

Так как норма приращения вектора решения больше , итерации необходимо продолжить.

Итерация 3. Рассчитываем третье приближениех⁽³⁾, норму разностих⁽³⁾ -х⁽²⁾ и сравниваем ее с :

.

Так как норма приращения вектора решения меньше , вычисления заканчиваем, принимая в качестве искомого итерационного решения:

х₁^(и) = 129/128 1,0078; х₂^(и) = (-195)/64  -3,0469; х₃^(и) = 253/64  3,9531.

Точное решение системы нетрудно найти, например, методом Гаусса:

х₁ = 1; х₂ = -3; х₃ = 4.

Абсолютные погрешности неизвестных находим по формуле х_i = х_i^(и) - х_i :

х₁  0,0078; х₂  0,0469; х₃  0,0469.

Относительные погрешности определяем по формуле х_i = х_i /х_i :

х₁  0,0078/1=0,0078; х₂  0,0469/3  0,0156; х₃  0,0469/4 0,0117.

Основным достоинством метода простой итерации является достаточно простая реализация. К недостаткам относится достаточно медленная сходимость.

Вопросы для проверки знаний.

1. Каким образом из системы линейных уравнений получают расчетную схему итерационного процесса метода Якоби ?

2. В чем заключается условие диагонального преобладания и как на его основе формулируется достаточный признак сходимости итерационного метода Якоби ?

итерационный метод решения системы линейных уравнений

Практическое задание.

1. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью =0,1:

Для устранения ошибок вычислений все промежуточные результаты найти в рациональном виде. В конце расчета результат округлить с точностью до 4 знаков после запятой. Найти абсолютные и относительные погрешности найденных значений неизвестных.