4. Указания к выполнению заданий по математическому анализу
4.1. Указания к заданию 1
4.1.1. Основные теоретические положения
При вычислении пределов необходимо помнить их свойства:
если
,
то
1.
т.е. предел суммы равен сумме пределов.
Замечание:
Если
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
.
2.
т.е. предел произведения равен произведению пределов.
Замечание:
Если
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
.
Если
где
то
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
3.
т.е. предел частного есть частное пределов.
Замечание:
Если
или А=0, В=0, то это свойство не верно и
имеем неопределенность
или
.
4.
.
Замечание:
Если
,
или
,
или
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
,
или
или
.
Первый замечательный предел
,
неопределенность
.
Следствия:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
.
Второй замечательный предел
,
неопределенность
,
.
Следствия:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
.
Некоторые типы пределов
1.
Если
причем
тогда при вычислении предела вида
можно выделить 3 случая.
1 случай: степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя (n < m), то такой предел равен 0;
2 случай: степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя (n > m), то такой предел равен ;
3
случай: степени многочленов числителя
и знаменателя равны (n=m),
то такой предел равен отношению
коэффициентов при старших степенях,
т.е. равен
.
4.1.2. Пример выполнения задания 1
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1)
.
В
данном пределе имеем неопределенность
,
причем степени числителя и знаменателя
равны между собой. Для вычисления этого
предела и в числителе, и в знаменателе
вынесем большую степень, т.е.
,
за скобку. В результате получаем
.
Слагаемые
стремятся
к нулю при
.
Т.е. скобка, стоящая в числителе, стремится
к 7 при
,
а скобка, стоящая в знаменателе, стремится
к 3
при
.
В результате имеем, что
Ответ:
.
б)
В
данном пределе имеем неопределенность
.
При вычислении этого предела необходимо
числитель и знаменатель разложить на
множители.
При
разложении знаменателя особых трудностей
не возникает, т.к.
.
Для
разложения числителя найдем корни
уравнения
Используя
формулу
,
получаем
Таким
образом, исходный предел можно записать
в виде
.
Сократив
на
,
получаем
Этот
предел уже не имеет неопределенностей.
Подставляя
,
получаем, что исходный предел равен 1.
Ответ: 1.
в)
.
Аналогично
примеру б) разложим квадратный трехчлен
на множители, а именно,
.
Для
преобразования знаменателя домножим
и числитель, и знаменатель дроби на
сопряженное к знаменателю, т.е. на
.
А затем в знаменателе воспользуемся
формулой сокращенного умножения
,
получаем
После сокращения дроби на (х2) полученный предел уже не имеет неопределенностей и его можно вычислить непосредственной подстановкой х=2 в выражение, стоящее под знаком предела. Произведя несложные вычисления, получаем, что исходный предел равен 12.
Ответ: 12.
г)
.
При вычислении этого предела воспользуемся следствием второго замечательного предела, а именно,
.
Преобразуем данный предел к этому виду:
Для
применения следствия второго замечательного
предела необходимо, что знаменатель
дроби, стоящей в скобках (в нашем случае
)
и степень (в нашем случае
)
были равны между собой. Добьемся
выполнения этого условия:
Осталось
вычислить значение, к которому стремится
выражение
при
.
Поступая аналогично примеру а), вынесем
большую степень х (в нашем случае х) и в
числителе, и в знаменателе за скобку. В
результате получаем
Слагаемые
и
стремятся к нулю при
,
т.е. степень стремится к
при
.
Исходный предел равен
.
Ответ:
.
д)
.
В этом примере будем пользоваться следствием первого и второго замечательных пределов, а именно,
Ответ:
