*Понятие тензора и эллипсоида инерции

Рис.5.

Вычислим момент инерции I_s твердого тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат в направлении, определяемом единичным вектором s. Разложим радиус-вектор r элемента массы тела dm на составляющие вдоль оси и перпендикулярную к ней: r = r_ + r_ (см. рис. 5). По определению момента инерции

. (19)

Очевидно, что

,

где x, y, z и s_x, s_y, s_z  декартовы координаты векторов r и s. Подставив это равенство в (19), получим:

, (20)

где I_xx, I_уу, I_zz, I_xy, I_xz, I_yz  постоянные, определяемые выражениями

,

, (21)

.

Следовательно, момент инерции относительно произвольной оси можно рассчитать по формуле (20), зная шесть величин. Эти величины удобно записать в виде симметричной матрицы:

. (22)

Такая матрица называется тензором инерции тела, а величины I_ij  компонентами тензора инерции.

Зная тензор инерции тела, можно определить момент инерции относительно произвольной оси, используя формулу (20) и теорему Гюйгенса-Штейнера.

Формула (20) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через начало координат будем проводить прямые во всевозможных направлениях s и на них откладывать отрезки длиной . Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Найдем ее уравнение. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением . Выразив отсюда s и подставив его значение в выражение (20), получим уравнение поверхности:

.

Так как момент инерции I_s имеет конечные значения, для любого направления оси s, приходим к выводу, что эта поверхность второго порядка является эллипсоидом. Его называют эллипсоидом инерции тела.

Тензор инерции зависит от выбора системы координат. При изменении координатной системы меняются и значения компонент тензора инерции тела. В частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе в уравнении (20) пропадают члены, содержащие произведения разных координат, и следовательно, тензор инерции будет иметь только диагональные компоненты. Оси этой системы координат называют главными осями тензора инерции, а диагональные элементы тензора инерции в этой системе отсчета  главными компонентами тензора инерции. Очевиден их физический смысл: это есть моменты инерции тела относительно главных осей.

Направления главных осей тензора инерции можно найти, используя свойства симметрии тела.

Введение тензора инерции позволяет записать уравнение вращательной динамики для произвольного вращения твердого тела:

, (23)

где L  момент импульса тела,   угловая скорость, M  момент внешних сил. При этом кинетическая энергия вращающегося тела запишется в виде:

. (24)

*ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 24.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ

С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

И ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И ВЫВОД РАБОЧЕЙ ФОРМУЛЫ

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, исследуемое тело, вспомогательное тело, штангенциркуль, весы.

Рис. 6.

Для определения главных компонент тензора инерции используется метод крутильных колебаний (см. работу 23). Экспериментальная установка, показана на рисунке 6. Основание 3 оснащено регулируемыми ножками, которые позволяют произ­вести выравнивание прибора. На основании закреплена колонна, к которой крепятся неподвижные кронштейны 6, 8 и подвижный кронштейн 7 с фотоэлектрическим датчиком 10. Между верхним и нижним кронштейнами натянута проволока 5. Исследуемое тело 1 жестко закрепляется в рамке крутильного маятника 2 при помощи винта 11. Период колебаний измеряется миллисекундомером 4. Рамка в закрученном положении фиксируется электромагнитом 9. Нажатие кнопки «Пуск» освобождает рамку.

Период крутильных колебаний рамки с закрепленным в ней исследуемым телом равен

, (25)

где I₀ и I  моменты инерции рамки и тела относительно оси вращения, D  модуль кручения проволоки (коэффициент пропорциональности момента упругих сил закрученной проволоки и угла, на который она закручена (см. работу 31)). Период колебаний свободной рамки будет равен . Отсюда

. (26)

Момент инерции рамки можно найти, измерив период T₁ колебаний рамки вместе с телом, момент инерции которого I₁ известен, по формуле

. (27)

Из (26) и (27) получим рабочую формулу для определения момента инерции исследуемого тела:

. (28)

ХОД РАБОТЫ

1. Взвесьте вспомогательное тело и определите штангенциркулем его размеры.

2. Рассчитайте момент инерции вспомогательного тела I₁, используя таблицу 1.

3. Укрепите вспомогательное тело в рамке.

4. Включите прибор в сеть переменного тока 220 В и нажмите кнопку «Сеть».

5. Отклоните рамку до фиксации электромагнитом.

6. Обнулите индикатор, нажав кнопку «Cброс».

7. Нажмите кнопку «Пуск». Измерьте время 1015 колебаний. (Отсчет времени останавливается кнопкой «Cтоп». Число полных колебаний высвечивается на табло «Периоды»). Вычислите T₁.

8. Повторив пункты 57 с пустой рамкой, найдите период колебаний T₀.

9. Возьмите исследуемое тело и из соображений симметрии определите направления главных осей его тензора инерции.

10. Используя поочередно для крепления тела пары точек, лежащие на главных осях инерции, повторите пункты 57, определяя соответствующие периоды колебаний Т.

11. Вычислите главные значения тензора инерции по формуле (28)

12. Постройте эллипсоид инерции.

13. Закрепите тело за точки, лежащие не на главной оси, и измерьте момент инерции относительно этой оси, повторив пункты 57,11.

14. Рассчитайте значение этого момента инерции по формуле (20), используя главные компоненты тензора инерции и геометрические размеры тела, которые можно измерить штангенциркулем.

15. Если исследуемое тело имеет правильную геометрическую форму, рассчитайте все измеренные моменты инерции теоретически. Сопоставьте экспериментальные и теоретические результаты.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

1. Обоснуйте необходимость введения понятия тензора инерции.

2. В каком случае момент импульса совпадает по направлению с угловой скоростью?

3. В каком случае угловое ускорение совпадает по направлению с моментом внешних сил?

4. Как направлены главные оси инерции для шара, эллипсоида, цилиндра, прямоугольного параллелепипеда?

5. Что такое эллипсоид инерции?

6. Опишите метод определения главных компонент тензора инерции, использованный в работе.

7. Получите формулу (28). Какие допущения используются при выводе этой формулы? Какие технические особенности экспериментальной установки обеспечивают их выполнение на практике?

*ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 25.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ

С ПОМОЩЬЮ МАХОВОГО КОЛЕСА

И ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ

Идея определения момента инерции махового колеса с помощью вспомогательного тела правильной геометрической формы изложена в работе 22. В данной работе ставится обратная задача - определение момента инерции не махового колеса, а тела, прикрепляемого к нему.

Момент инерции махового колеса I_к связан с центральным моментом инерции I₀₁ прикрепленного тела соотношением (см. уравнения (13)-(14) в работе 22)

(29)

где m₁  масса тела, g  ускорение свободного падения, d  расстояние от центра масс тела до оси вращения, T₁  период колебаний махового колеса с закрепленным на нем телом. Аналогично для другого тела с массой m₂:

Зная момент инерции одного из тел, например I₀₁, можно экспериментально определить момент инерции другого тела, используя формулу:

(30)

Величины m₁, m₂, T₁, T₂, d находятся путем измерения.

Приборы и принадлежности: маховое колесо с электронной системой отсчета времени, исследуемое и вспомогательное тела, штангенциркуль, весы.

ХОД РАБОТЫ

1. Найдите взвешиванием массу m₁ вспомогательного тела и определите штангенциркулем его размеры. Рассчитайте момент инерции I₀₁ по соответствующей формуле из таблицы 1.

2. Укрепите вспомогательное тело на маховом колесе.

3. Включите установку в сеть переменного тока 220 В. Нажмите последовательно кнопки «Сеть» и «Сброс» на панели установки. Если установка исправна, на табло появятся нули.

4. Качните колесо и измерьте время 1015 колебаний, запуская миллисекундомер кнопкой «Cброс» и останавливая его кнопкой «Cтоп». Вычислите период колебаний T₁.

5. Прикрепите вместо вспомогательного тела исследуемое так, что бы главная ось его тензора инерции была параллельна оси вращения повторите пункты 4,5. Найдите период колебания T₂.

6. Рассчитайте момент инерции исследуемого тела по формуле (30).

7. Аналогично определите две другие главные компоненты тензора инерции.

8. Измерьте размеры исследуемого тела.

9. Самостоятельно выберите какую-либо неглавную ось исследуемого тела и по формуле (20) рассчитайте момент инерции относительно нее. Сравните полученные результаты.

10. Постройте эллипсоид инерции.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

1. Ответьте на вопросы 16 из предыдущей работы.

2. Выведите формулу (30). Какие допущения использованы в этой формуле? Какие условия эксперимента и особенности установки делают их обоснованными?

3. Каким должно быть оптимальное соотношение между моментами инерции махового колеса и исследуемого тела?