Расчеты по определению средней величины и среднеквадратичного отклонения для сгруппированного вариационного ряда (I—обычный способ, II—способ моментов)

Возраст больного V	Число больных, Р	I способ						II способ
		Vp	D=V-M	dp		d^2	d^2р	d=V-A	Dp		d^2	d^2р
39	1	39	-10,3	-10,3		105,09	103,09	-9,0	-9,0		81,0	81,0
41	1	41	-8,3	-8,3		68,89	68,89	-7,0	-7,0		49,0	49,0
42	4	168	-7,3	-29,2		53,29	213,16	-6,0	-24,0		36,0	144,0
43	2	86	-6,3	-12,3	-72,9	39,69	79,38	-5,0	-10,0	-56,0	25,0	50,0
46	3	138	-3,3	-9,9		10,89	32,67	-2,0	-6,0		4,0	12,0
48	2	96	-1,3	-2,6		1,69	3,38	0,0	0,0		0,0	0,0
50	4	200	0,7	2,8		0,49	1,96	2,0	8,0		4,0	16,0
52	3	156	2,7	8,1		7,29	24,81	4,0	12,0		16,0	48,0
54	5	270	4,7	23,5	+72,9	22,09	110,45	6,0	30,0	+95,0	36,0	180,0
56	4	224	6,7	26,8		44,89	179,56	8,0	32,0		64,0	256,0
61	1	61	11,7	11,7		136,89	136,89	13,0	13,0		169,0	169,0
n=30 ΣVp=1479				Σdp=0		Σd^2 =954.3			Σdp=39		Σd^2 p=1005

Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

1. сумма отклонений от средней равна нулю (см. табл. 2, гр. 5);

1. при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);

2. если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя арифметическая увеличивается (уменьшается) на то же число.

Эти свойства могут быть использованы для облегчения и упрощения расчета средней арифметической.

Первое свойство, например, служит обоснованием для расчета средней арифметической по способу моментов.

Как видно из табл. 2 (гр. 5), сумма всех отклонений вариант от средней равна нулю (отклонение d — это разность между каждой вариантой и средней величиной, т. е. d = V-M). Поскольку в сгруппированном вариационном ряду варианты имеют различную частоту, то каждая из них в итоге дает отклонения, зависящие от этой повторяемости. Следовательно, значение отклонения варианты необходимо умножить на частоту, а затем суммировать все эти произведения. Каждая варианта отклоняется от средней величины в большую или меньшую сторону со знаком «+» или «-». Эти значения следует учитывать при проведении вычислений. Сумма отрицательных отклонений равна -72,9, сумма положительных отклонений составляет 72,9, а итоговая сумма всех отклонений равна нулю (Σdp = 0). Это свидетельствует о том, что средняя величина действительно есть общая количественная характеристика данного вариационного ряда, так как она взаимоисключает, взаимоуничтожает все отклонения. Это свойство положено в основу вычисления средней величины по способу моментов. Значение средней определяется по формуле , где А является условной средней величиной. Если А является истинной средней, т. е. А = М, то сумма ее отклонений будет равна нулю, если же она не является истинной средней, то сумма отклонений будет иметь значение, отличное от нуля, и явится основой для определения поправки. В табл. 2 (II способ) показаны этапы вычис­ления средней величины по способу моментов (А = 48). Из гр. 9 табл. 2 видно, что сумма отклонений Σdp равна 39. С учетом поправки легко определить действительное значение средней величины, подставив соответствующие значения в формулу:

Таким образом, полученное значение средней арифметической величины по способу моментов идентично таковому, найденному обычным способом.

При выборе условной средней А следует ориентироваться на моду или медиану.

Способ моментов значительно упрощает расчеты и делает их более быстрыми.

Второе свойство средней арифметической полезно применять при анализе вариационного ряда, состоящего либо из очень больших, либо из очень малых величин. Имеются, например, варианты: 0,0001; 0,0002; 0,0003. Используя это свойство, увеличим их в 10000 раз. Получим величины 1, 2, 3. Средняя арифметическая из них равна 2, а искомая средняя арифметическая в 10000 раз меньше, т. е. 0,0002.

При обработке вариационного ряда, состоящего их положительных и отрицательных значений, иногда бывает полезно прибавить ко всем вариантам такое число, чтобы сделать их все положительными. Из полученного среднего результата эту величину следует вычесть. Например, имеются величины: +10, +5, -3, -1, +6, -1, -2. Определим среднюю арифметическую:

Чтобы избавиться от отрицательных величин, можно использовать третье свойство средней арифметической, т. е. прибавить к каждой варианте определенное число, например, в нашем случае 4. Тогда величины приобретут следующий вид: 14, 9, 1, 3, 10, 3, 2. Их сумма равна 42. При делении на 7 получим 6. При вычитании 4 из 6 получим среднюю арифметическую величину 2.