3. Разложение тензора напряжений

3.1. Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках σ1, σ2, σ3. Вычисление гидростатического давления.

Тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках σ_1, σ_2, σ₃ запишется в виде

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

3.2.Гидростатическое давление вычисляется по формуле:

(29)

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

3. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

Тензор напряжений T_σ можно представить в виде двух слагаемых

, (30)

где - среднее напряжение;

T_σ° - шаровый тензор напряжений;

D_σ – девиатор напряжений.

Шаровый тензор определяет напряженное состояние всесторон­него растяжения или сжатия, которое вызывает лишь чисто упругое изменение объёма тела без изменения его формы.

Девиатор напряжений определяет напряжённое состояние, вызы­вающее пластическое формоизменение твёрдого тела без изменения его объёма, Особенностью девиатора является равенство нулю его первого инварианта I₁(D_σ).

Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.

(МПа)

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

Масштаб: в мм МПа

^{= +}

^{= +}

Рисунок 2 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.

Масштаб: в мм МПа

^{= +}

^{= +}

Рисунок 3 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

4. Вычисление главных касательных напряжений, интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок и значения нормального и касательного октаэдрических напряжений.

4.1. Вычисление главных касательных напряжений.

Главные касательные напряжения действуют в площадках, наклоненных под углом 45° к главным осям, вдоль которых направлены главные нормальные напряжения. Определяются они как полуразность двух соответствующих главных нормальных напряжений

₍₃₁₎

₍₃₂₎

₍₃₃₎

Подставив численные значения получим:

(МПа)

(МПа)

(МПа)

Выполним проверку из условия, что сумма главных касательных напряжений равна нулю:

0=0