Свойства

Сочетательное свойство:

Распределительное свойство:

.

Произведение матрицы на единичную матрицу  подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу  подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если  и  — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицы  и  называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

13 Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа  такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов  матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

14 приведенная система уравнения – это матрица, приведенная к ступенчатому виду

Система, у которой все свободные члены равны нулю, (b₁ = b₂ == b_n = 0), называется однородной.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

15 фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов  размера  называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

•  — решения системы (1);

•  линейно независимы;

• .

Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы , где  — число переменных системы (1), тогда: ФСР (1) существует: ; она состоит из  векторов; общее решение системы имеет вид . Замечание: Если , то ФСР не существует.

16 Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: 

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус. 

17 Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Очевидно, что A+O = A, A−A = O и 0A = O

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Очевидно AI = IA = A.

Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a_ij = 0, при i>j. Например

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой в левосторонней системе координат.

Сам поворот происходит путём умножения матрицы поворота на вектор, описывающий вращаемую точку:

.