Решение.
1. Составление расчетной схемы (рис. 19, б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом и распределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,
Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:
; (а)
; (б)
. (в)
Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Из уравнения (а) находим:
.
Из уравнения (б) получаем:
.
Наконец, из уравнения (в) находим:
Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:
.
Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.
2. КИНЕМАТИКА
Задача 1. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени , найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории:
, (1)
где Х и Y в сантиметрах, t – в секундах.
Решение. 1. Определение уравнения траектории. Параметрическим представлением траектории является сам закон движения. Уравнение траектории в координатной форме получаем, исключая из закона движения время:
.
Получили , то есть траекторией точки является парабола. Для построения траектории рассчитаем по уравнениям координаты точек параболы, отвечающие нескольким моментам времени. Результаты расчетов приведены в таблице 3.
Таблица 3
t, с |
0 |
0,5 |
1 |
X, cм |
0 |
2 |
4 |
Y, см |
- 1 |
1 |
7 |
Траектория построена на рис. 12, на ней стрелкой показано направление движения точки из начального положения при с координатами .
2. Определение скорости. Дифференцируя (1) по времени, находим проекции скорости точки на оси координат Х, Y:
. (2)
При .
Рис. 12
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
.
3. Определение ускорения. Дифференцируя (2), находим проекции вектора ускорения:
.
При .
По найденным проекциям определяем модуль ускорения:
4. Определение касательного ускорения при :
.
5. Определение нормального ускорения при :
.
6. Определение радиуса кривизны при :
.
Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в таблице 4.
Таблица 4
Координаты, см |
С к о р о с т ь, |
Ус к о р е н и е, |
Радиус кривизны, см |
||||||||||
Х |
Y |
Vx |
Vy |
V |
ax |
ay |
a |
a |
an |
|
|||
2 |
1 |
4 |
8 |
8,9 |
0 |
16 |
16 |
14,4 |
6,9 |
11,6 |
На рис. 12 показано положение точки М в заданный момент времени.
Векторы скорости и ускорения в этой точки построены в масштабе по их проекциям на оси координат: , там же показаны касательное и нормальное ускорения. Совпадение величин a и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.
Радиус кривизны проведен в сторону вогнутости траектории перпендикулярно к вектору скорости – по направлению an.
Задача 2. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 , см определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом равен S. R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см; S = 50 см (рис. 17).
Рис. 17
Решение. 1. Кинематический анализ. Механизм состоит из трех тел: груз 1 совершает поступательное движение, а колеса 2 и 3 вращаются вокруг неподвижных осей, перпендикулярных плоскости чертежа. Связи между телами идеальны. Определим момент времени t, когда путь S, пройденный грузом равен 50 см:
,
откуда
.
Скорость груза определим дифференцированием по времени уравнения движения:
.
2. Определение угловых параметров колес 2 и 3.
Угловая скорость колеса 2
.
Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес, то есть
,
откуда
.
Угловое ускорение колеса 3
.
3. Определение линейных параметров.
Скорость точки М колеса 3
и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.
Вращательное ускорение точки М
и имеет одинаковое со скоростью направление, так как вращение колес ускоренное (угловая скорость и угловое ускорение имеет одинаковые знаки).
Центростремительное ускорение точки М
и направлено по радиусу к центру колеса.
Полное ускорение
.
Значение всех определяемых величин для времени представлены в таблице, а направление скоростей и ускорений точки М показаны на рис. 18.
Таблица 5
У с к о р е н и е, |
|||||
аε |
аω |
а |
|||
2,75 |
2,75 |
110 |
110 |
756,3 |
764,26 |
Рис. 18