- •3. Аналитическая геометрия в пространстве
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Уравнение прямой в пространстве
- •2.3. Проекция вектора на заданную ось. Координаты вектора в декартовой системе координат
- •2.4. Скалярное произведение двух векторов
- •2.5. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.2. Векторы. Линейные операции над векторами
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •1.7. Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных)
- •1.9. Метод Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
1.10. Решение
систем уравнений матричным методом
Рассмотрим
систему n
уравнений с n
неизвестными (2). Система (2)
эквивалентна матричному уравнению
,
где
,
,
.
Если
то система (2) имеет единственное решение
(теорема Крамера) и для матрицы А
существует обратная матрица. Тогда
.
Решение
системы
.
2. векторная
алгебра
2.1. Координаты
точки пространства
в
прямоугольной декартовой системе
координат
Если
задана прямоугольная система координат,
то точка пространства М
задается тремя координатами: абсциссой
–
x,
ординатой –
y
и аппликатой
z.
Таким образом, точка, заданная тремя
координатами, обозначается
.
Пусть
заданы точки
и
.
Тогда расстояние
.
(3)
Если
точка С
делит отрезок АВ
так, что
,
то
(4)
Координаты
середины отрезка АВ
Величина,
для задания которой необходимо указать
ее численное значение и направление,
называется векторной или вектором.
Векторы
изображаются направленными отрезками
и обозначаются
или
,
где точки
и
–
начало и конец вектора.
Численное
значение векторной величины называется
длиной или модулем вектора и обозначается
или
.
Если
,
то
– нулевой вектор; направление нулевого
вектора произвольно.
Два
вектора называются коллинеарными,
если они параллельны одной прямой
(обозначение
).
Три
вектора называются компланарными, если
они параллельны одной плоскости.
Два
вектора равны, т.е.
,
если выполнены три условия: =;
;
и
одинаково направлены.
Из
определения равенства векторов следует,
что параллельное перемещение не меняет
вектора. Этим свойством можно
воспользоваться, чтобы привести векторы
к общему началу.
Сложение
векторов. Сумму
нескольких векторов можно найти по
правилу многоугольника: чтобы
найти вектор – сумму заданных
векторов-слагаемых, нужно последовательно
совместить начало следующего
вектора-слагаемого с концом предыдущего,
тогда вектор, начало которого совпадает
с началом первого вектора, а конец – с
концом последнего, называется суммой
заданных векторов.
Умножение
вектора на скаляр. Пусть
– вектор,
– скаляр, тогда
– вектор, обладающий следующими
свойствами: а) ;
б) ;
в) сонаправлен
вектору
,
если
,
и направлен противоположно, если
.
Свойства
умножения вектора на скаляр:
1)
;
2) ;
3) ;
4) если
,
то либо
,
либо
.
Критерий
коллинеарности двух векторов:
,
если
.
Если
задан ненулевой вектор
,
то единичный вектор того же направления
называется ортом вектора
.
Векторы
называются линейно независимыми, если
равенство
выполняется только при условии, что
при всех
.
Любые
два неколлинеарных вектора на плоскости
линейно независимы, т.е. если
и
не коллинеарны, то из
и наоборот; два неколлинеарных вектора
на плоскости образуют базис, и всякий
третий вектор этой плоскости можно
представить в виде
,
разложив его по базису (,
).
Числа
и
в этом случае называются координатами
вектора
в базисе (,
).
Разложение вектора
по базису (,
)
единственно, т.е. координаты
и
можно найти единственным образом.
Любые
три некомпланарных вектора
,
,
в пространстве линейно независимы и
образуют
базис
трехмерного пространства; всякий
четвертый вектор
этого пространства можно единственным
образом
разложить по базису (,
,
),
т.е. представить в виде
,
где ,
,
– координаты вектора
в базисе (,
,
).
Три
некомпланарных вектора
,
,
образуют правую тройку векторов, если
из конца вектора
кратчайший поворот от
к
виден в положительном (против часовой
стрелки) направлении.
2.2. Векторы. Линейные операции над векторами