4. Вычисление вероятности события с использованием основных свойств вероятности.

При вычислении вероятности сложного события через вероятности более простых событий используются свойства вероятности.

Если А и В несовместны, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для совместных событий:

Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В).

Для противоположных событий А и В имеет место равенство:

Р(Ā)=1-Р(А).

Если события А и В независимы, то

P(A∩B)= P(A)^.P(B).

Пример 1. Два стрелка, вероятности попадания в цель которых при одном выстреле равны соответственно и, производят по два выстрела. Чему равна вероятность того, что будет хотя бы одно попадание?

Решение. Пусть события А₁ и А₂ состоят в том, что первый стрелок попадает в мишень при первом и при втором выстреле соответственно, и пусть В₁ и В₂ аналогичные события для второго стрелка. Событие, состоящее в том, что не будет ни одного попадания, будет Ā₁Ā₂. Так как выстрелы независимы, то вероятность этого события будет равна. Событие, состоящее в том, что будет хотя бы одно попадание, является противоположным к рассмотренному выше. Отсюда искомая вероятность будет равна

Пример 2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне n₁ белых шаров, m₁ черных и k₁ красных, а во второй соответственно n₂, m₂ и k₂. Из обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета (событие С)?

Решение. Пусть события А₁,А₂,А₃ – из первой урны извлечены соответственно белый, черный и красный шары и события В₁,В₂,В₃ – такие же события для второй урны. Событие С – оба шара одного цвета – будет равно:

С= А₁В₁+А₂В₂+А₃В₃.

Так как события А_к и В_к независимы, а события А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ несовместны, то

Р(С)=Р(А₁)Р(В₁)+Р(А₂)Р(В₂)+Р(А₃)Р(В₃)=

Варианты задания №4

1. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании.

2. Для каждого прибора вероятность того, что он включен в данный момент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один из трех приборов.

3. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

4. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,6, из второго – 0,8, из третьего – 0,5. Цель будет поражена, если произойдет хотя бы два попадания. Каждое орудие произвело по одному выстрелу по цели. Определить вероятность того, что цель будет поражена.

5. Из трех орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,7. Определить вероятность того, что будет ровно два попадания.

6. Определить вероятность появления события в одном опыте, если вероятность появления этого события один раз в двух опытах равна 5/18.

7. При передаче текста 10% букв искажаются и принимаются неверно. Какова вероятность того, что все пять букв данного слова будут приняты правильно?

8. Каждая буква слова «математика» написана на отдельной карточке, карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются четыре карточки. Какова вероятность получить слово «тема»?

9. Из трех орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,6. Определить вероятность хотя бы двух попаданий.

10. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрельба ведется до первого попадания. Найти вероятность того, что будет произведено 5 выстрелов.

11. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три карты. Определить вероятность того, что они будут разных мастей.

12. Вероятность появления события А в трех независимых опытах хотя бы один раз равна 0,75. Определить вероятность того, что в двух опытах событие появится оба раза.

13. Девять пассажиров размещаются по трем вагонам. Каждый пассажир выбирает вагон наугад. Какова вероятность того, что в каждый вагон сядет по три пассажира?

14. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

15. Бросают одновременно два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение чисел, которые выпадут, будет четным числом.

16. В урне имеется 6 белых и 4 черных шаров. Два игрока достают последовательно по одному шару, возвращая каждый извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не вытащит белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинавший игру.

17. Вероятность появления события в каждом опыте одинакова и равна 0,4. Опыты производятся до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.